Логарифмические уравнения как решать примеры. Логарифмические уравнения. От простого - к сложному. Логарифмическая единица и логарифмический ноль

Введение

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.

Участвуя в фестивале педагогических идей "Открытый урок" 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме "Логарифмическая функция" (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме "Решение логарифмических уравнений", которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.

При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.

История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.

Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:

Решение этих уравнений основано на следующей теореме.

Теорема 1. Уравнение равносильно системе

(2)

Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение

и его решения подставить в систему неравенств

задающую область определения уравнения (1).

Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).

При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.

Пример 1: Решить уравнение

Решение:

Оба значения х удовлетворяют условиям системы.

Ответ:

Рассмотрим уравнения вида:

Их решение основано на следующей теореме

Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе

(6)

Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения , которые

принадлежат области определения, задаваемой условиями .

Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.

1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).

Пример 2: Решить уравнение

Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:

Решим уравнение:

Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ:

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА .

Пример 3: Найти х , если

Решение:

Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3

3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.

Пример 4: Решить уравнение

Оба значения х являются корнями уравнения.

Ответ:

4. ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ.

Пример 5: Решить уравнение

Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство "логарифм степени".

Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.

Ответ: х = 0,1; х = 100

5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.

Пример 6: Решить уравнение

Воспользуемся формулой и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:

Тогда данное уравнение примет вид:

Так как , то это корень уравнения.

Ответ: х = 16

6. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ .

Логарифмические уравнения. Продолжаем рассматривать задачи из части В ЕГЭ по математике. Мы с вами уже рассмотрели решения некоторых уравнений в статьях « » , « » . В этой статье рассмотрим логарифмические уравнения. Сразу скажу, что никаких сложных преобразований при решении таких уравнений на ЕГЭ не будет. Они просты.

Достаточно знать и понимать основное логарифмическое тождество, знать свойства логарифма. Обратите внимание на то, то после решения ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно сделать проверку — подставить полученное значение в исходное уравнение и вычислить, в итоге должно получиться верное равенство.

Определение :

Логарифмом числа a по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.

Например:

Log 3 9 = 2, так как 3 2 = 9

Свойства логарифмов:

Частные случаи логарифмов:

Решим задачи. В первом примере мы сделаем проверку. В последующих проверку сделайте самостоятельно.

Найдите корень уравнения: log 3 (4–x) = 4

Так как log b a = x b x = a, то

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Проверка:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Верно.

Ответ: – 77

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения: log 2 (4 – x) = 7

Найдите корень уравнения log 5 (4 + x) = 2

Используем основное логарифмическое тождество.

Так как log a b = x b x = a, то

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Проверка:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Верно.

Ответ: 21

Найдите корень уравнения log 3 (14 – x) = log 3 5.

Имеет место следующее свойство, смысл его таков: если в левой и правой частях уравнения имеем логарифмы с одинаковым основанием, то можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов.

14 – x = 5

x = 9

Сделайте проверку.

Ответ: 9

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения log 5 (5 – x) = log 5 3.

Найдите корень уравнения: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Если log c a = log c b, то a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Сделайте проверку.

Ответ: 6

Найдите корень уравнения log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Сделайте проверку.

Небольшое дополнение – здесь используется свойство

степени ().

Ответ: – 51

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения: log 1/7 (7 – x) = – 2

Найдите корень уравнения log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Преобразуем правую часть. воспользуемся свойством:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Если log c a = log c b, то a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Сделайте проверку.

Ответ: – 21

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Решите уравнение log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Если log c a = log c b, то a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Сделайте проверку.

Ответ: 2,75

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Решите уравнение log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Необходимо с правой стороны уравнения получить выражение вида:

log 2 (......)

Представляем 1 как логарифм с основанием 2:

1 = log 2 2

log с (ab) = log с a + log с b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Получаем:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Если log c a = log c b, то a = b, значит

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Сделайте проверку.

Ответ: 0,4

Решите самостоятельно: Далее необходимо решить квадратное уравнение. Кстати,

корни равны 6 и – 4.

Корень "– 4" не является решением, так как основание логарифма должно быть больше нуля, а при " – 4" оно равно « – 5». Решением является корень 6. Сделайте проверку.

Ответ: 6.

Решите самостоятельно:

Решите уравнение log x –5 49 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Как вы убедились, никаких сложных преобразований с логарифмическими уравнениями нет. Достаточно знать свойства логарифма и уметь применять их. В задачах ЕГЭ, связанных с преобразованием логарифмических выражений, выполняются более серьёзные преобразования и требуются более глубокие навыки в решении. Такие примеры мы рассмотрим, не пропустите! Успехов вам!!!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Решение логарифмических уравнений. Часть 1.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма).

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:

Решение любого логарифмического уравнения предполагает переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов. Однако это действие расширяет область допустимых значений уравнения и может привести к появлению посторонних корней. Чтобы избежать появления посторонних корней , можно поступить одним из трех способов:

1. Сделать равносильный переход от исходного уравнения к системе, включающей

в зависимости от того, какое неравенство или проще.

Если уравнение содержит неизвестное в основании логарифма:

то мы переходим к системе:

2. Отдельно найти область допустимых значений уравнения , затем решить уравнение и проверить, удовлетворяют ли найденные решения уравнения.

3. Решить уравнение, и потом сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение, и проверить, получим ли мы верное равенство.

Логарифмическое уравнение любого уровня сложности в конечном итоге всегда сводится к простейшему логарифмическому уравнению.

Все логарифмические уравнения можно условно разделить на четыре типа:

1 . Уравнения, которые содержат логарифмы только в первой степени. Они с помощью преобразований и использования приводятся к виду

Пример . Решим уравнение:

Приравняем выражения, стоящие под знаком логарифма:

Проверим, удовлетворяет ли наш корень уравнения:

Да, удовлетворяет.

Ответ: х=5

2 . Уравнения, которые содержат логарифмы в степени, отличной от 1 (в частности, в знаменателе дроби). Такие уравнения решаются с помощью введения замены переменной .

Пример. Решим уравнение:

Найдем ОДЗ уравнения:

Уравнение содержит логарифмы в квадрате, поэтому решается с помощью замены переменной.

Важно! Прежде чем вводить замену, нужно "растащить" логарифмы, входящие в состав уравнения на "кирпичики", используя свойства логарифмов.

При "растаскивании" логарифмов важно очень аккуратно применять свойства логарифмов:

Кроме того, здесь есть еще одно тонкое место, и, чтобы избежать распространенной ошибки, воспользуемся промежуточным равенством: запишем степень логарифма в таком виде:

Аналогично,

Подставим полученные выражения в исходное уравнение. Получим:

Теперь мы видим, что неизвестное содержится в уравнении в составе . Введем замену : . Так как может принимать любое действительное значение, на переменную мы никаких ограничений не накладываем.

ФИО	Плотникова Татьяна Владимировна
Место работы	МБОУ «СОШ №1 г.Суздаля»
Должность	Учитель математики
Предмет	Алгебра и начала математического анализа
Класс
Тема урока	«Способы решения логарифмических уравнений», 2 часа
Базовый учебник	Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. / М. Просвещение 2014

Цель урока: повторить знания учащихся о логарифме числа, его свойствах; изучить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.

Задачи:

Обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их в вычислении логарифмов, в решении логарифмических уравнений;

Развивающие: формировать умение решать логарифмические уравнения;

Воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету

Тип урока: урок изучения нового материала.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, экран.

Структура и ход урока:

Организационный момент.

Учитель .

Здравствуйте, садитесь! Сегодня тема нашего урока «Решение логарифмических уравнений», на котором мы познакомимся со способами их решения, используя определение и свойства логарифмов. (слайд № 1)

Устная работа.

Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:

1. Разминка по теории:

1. Дайте определение логарифма. (слайд № 2)

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Функция y=log 0,8 x является возрастающей или убывающей?Почему?

5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов. (слайд № 3)

8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать? (слайд № 4)

2. Работа по карточка(3-4 ученика):

Карточка №1: Вычислить: а) log 6 4 + log 6 9 =

Б) log 1/3 36 – log 1/3 12 =

Решить уравнение: log 5 х = 4 log 5 3 – 1/3 log 5 27

Карточка №2:

Вычислить: а) log211 – log244 =

Б) log1/64 + log1/69 =

Решить уравнение: log 7 х = 2 log 7 5 + 1/2 log 7 36 – 1/3 log 7 125.

Фронтальный опрос класса (устные упражнения)

Вычислить: (слайд № 5)

log 2 16
lоg 3 √3
log 7 1
log 5 (1 / 625 )
log 2 11 - log 2 44

log 8 14 + log 8 32/7
log 3 5 ∙ log 5 3
5 log 5 49
8 lоg 8 5 - 1
25 –log 5 10

Сравнить числа : (слайд № 6)

log ½ е и log ½ π;
log 2 √5/2 и log 2 √3/2.

Выяснить знак выражения log 0,8 3 · log 6 2/3. (слайд № 7)

Проверка домашнего задания:

На дом были задания следующие упражнения: №327(неч.), 331(неч.), 333(2) и 390(6). Проверить ответы к данным заданиям и ответить на вопросы учащихся.

Изучение нового материала:

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение
log a х =с (а > 0, а≠ 1)
Способы решения логарифмических уравнений: (слайд № 8)

Решение уравнений на основании определения логарифма. (слайд № 9)

log a х = с (а > 0, а≠ 1) имеет решение х = а с .

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:

по данным основаниям и числу определяется логарифм,
по данному логарифму и основанию определяется число,
по данному числу и логарифму определяется основание.

Примеры:

log 2 128= х, log 16 х = ¾, log х 27= 3,

2 х = 128, х =16 ¾ , х 3 =27,

2 х = 2 7 , х =2 3 , х 3 = 3 3 ,

х =7 . х = 8. х =3.

а) log 7 (3х-1)=2 (ответ: х=3 1/3)

б) log 2 (7-8х)=2 (ответ: х=3/8).

Метод потенцирования. (слайд № 10)

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е.

Log a f(х) = log a g(х), то f(х) = g(х), при условии, что f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.

Пример:

Решите уравнение =

ОДЗ:

3х-1>0; х>1/3

6х+8>0.

3х-1=6х+8

3х=9

х=-3

3 >1/3 - неверно

Ответ: решений нет.

lg(х 2 -2) = lg х (ответ: х=2)

Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. (слайд №11)

Пример:

Решите уравнение =log 2 (6-х)

ОДЗ:

6-х>0;

х>0;

х≠1;

log 2 х 2 >0;

х 2 >0.

Решение системы: (0;1)Ụ (1;6).

Log 2 (6-х)

х 2 = 6-х

х 2 +х-6=0

х=-3 не принадлежит ОДЗ.

х=2 принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=2

С классом решить следующее уравнение :

= (ответ: х=1)

Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. (слайд № 12)

Пример:

Решите уравнение log 16 х+ log 4 х+ log 2 х=7

ОДЗ: х>0

¼ log 2 х+½ log 2 х+ log 2 х=7

7/4 log 2 х=7

log 2 х=4

х=16 – принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=16.

С классом решить следующее уравнение:

3 (ответ: х=5/3)

Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма. (слайд № 13)

Пример:

Решите уравнение log 2 (х +1) - log 2 (х -2) = 2.

ОДЗ:

х+1>0;

х-2>0. х>1.

Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем log 2 = 2, откуда следует = 4.

Решив последнее уравнение, находим х = 3, 3>1 - верно

Ответ: х = 3.

С классом решить следующие уравнения:

а)log 5 (х +1) + log 5 (х +5) = 1 (ответ: х=0).

б)log 9 (37-12х) log 7-2х 3 = 1,

37-12х >0, х

7-2х >0, х

7-2х≠ 1; х≠ 3; х≠ 3;

Log 9 (37-12х) / log 3 (7-2х) = 1,

½ log 3 (37-12х) = log 3 (7-2х) ,

Log 3 (37-12х) = log 3 (7-2х) 2 ,

37-12х= 49 -28х +4х 2 ,

4х 2 -16х +12 =0,

Х 2 -4х +3 =0, Д=19, х 1 =1, х 2 =3, 3 –посторонний корень.

Ответ: х=1 корень уравнения.

В) lg(х 2 -6х+9) - 2lg(х - 7) = lg9.

(х 2 -6х+9) >0, х≠ 3,

Х-7 >0; х >7; х >7.

Lg ((х-3)/(х-7)) 2 = lg9

((х-3)/(х-7)) 2 = 9,

(х-3)/(х-7) = 3, (х-3)/(х-7)= - 3 ,

х- 3 = 3х -21 , х -3 =- 3х +21,

х =9. х=6 - посторонний корень.

Проверка показывает 9 корень уравнения.

Ответ: 9

Уравнения, решаемые введением новой переменной. (слайд № 14)

Пример:

Решите уравнение lg 2 х - 6lgх+5 = 0.

ОДЗ: х>0.

Пусть lgх = р, тогда р 2 -6р+5=0.

р 1 =1, р 2 =5.

Возвращаемся к замене:

lgх = 1, lgх =5

х=10, 10>0 – верно х=100000, 100000>0 – верно

Ответ: 10, 100000

С классом решить следующее уравнение:

Log 6 2 х + log 6 х +14 = (√16 – х 2 ) 2 +х 2 ,

16 – х 2 ≥0 ; - 4≤ х ≤ 4;

Х >0 , х >0, О.Д.З. [ 0,4).

Log 6 2 х + log 6 х +14 = 16 – х 2 +х 2 ,

Log 6 2 х + log 6 х -2 = 0

Заменим log 6 х = t

T 2 + t -2 =0 ; D = 9 ; t 1 =1 , t 2 = -2.

Log 6 х = 1 , х = 6 посторонний корень.

Log 6 х = -2, х = 1/36 , проверка показывает 1/36 является корнем.

Ответ: 1/36.

Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители. (слайд № 15)

Пример:

Решите уравнение log 4 (2х-1)∙ log 4 х=2 log 4 (2х-1)

ОДЗ:

2х-1>0;

Х >0. х>½.

log 4 (2х-1)∙ log 4 х - 2 log 4 (2х-1)=0

log 4 (2х-1)∙(log 4 х-2)=0

log 4 (2х-1)=0 или log 4 х-2=0

2х-1=1 log 4 х = 2

х=1 х=16

1;16 – принадлежат ОДЗ

Ответ: 1;16

С классом решить следующее уравнение:

log 3 х ∙log 3 (3х-2)= log 3 (3х-2) (ответ: х=1)

Метод логарифмирования обеих частей уравнения. (слайд № 16)

Пример:

Решите уравнения

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3.

Получим log 3 = log 3 (3х)

получаем: log 3 х 2 log 3 х = log 3 (3х),

2log 3 х log 3 х = log 3 3+ log 3 х,

2 log 3 2 х = log 3 х +1,

2 log 3 2 х - log 3 х -1=0,

заменим log 3 х = р, х >0

2 р 2 + р -2 =0 ; D = 9 ; р 1 =1 , р 2 = -1/2

Log 3 х = 1 , х=3,

log 3 х = -1/ 2 , х= 1/√3.

Ответ: 3 ; 1/√3

С классом решить следующее уравнение:

Log 2 х - 1

х = 64 (ответ: х=8 ; х=1/4 )

Функционально – графический метод. (слайд № 17)

Пример:

Решите уравнения: log 3 х = 12-х.

Так как функция у= log 3 х возрастающая, а функция у =12-х убывающая на (0; + ∞) то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень.

Построим в одной системе координат графики двух функций: у= log 3 х и у =12-х.

При х=10 заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1. Ответ х=10.

С классом решить следующее уравнение:

1-√х =ln х (ответ: х=1).

Подведение итогов, рефлексия (раздать кружочки, на которых ребята отмечают свое настроение рисунком). (слайд № 18,19)

Определить метод решения уравнения:

Домашнее задание: 340(1), 393(1), 395(1,3), 1357(1,2), 337(1), 338(1), 339(1)

Литература

Рязановский, А.Р. Математика. 5 – 11 кл.: Дополнительные материалы к уроку математики/ А.Р.Рязановский, Е.А.Зайцев. – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа,2002
Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 1997. № 1, 10, 46, 48; 1998. № 8, 16, 17, 20, 21, 47.
Скоркина, Н.М. Нестандартные формы внеклассной работы. Для средних и старших классов/ Н.М. Скоркина. – Волгоград: Учитель, 2004
Зив, Б.Г., Гольдич,В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса./Б.Г.Зив, В.А.Гольдич. – 3-е изд., исправленное. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004
Алгебра и начала анализа: математика для техникумов/под ред. Г.Н.Яковлева.-М.: Наука, 1987

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Способы решения логарифмических уравнений Учитель математики: Плотникова Т.В. МБОУ «СОШ №1 г.Суздаля»

Определение Логарифмом положительного числа b по основанию a , где a >0, а≠1 , называется такой показатель степени с, в которую надо возвести a , чтобы получить b .

Свойства логарифмов log a 1 = 0 log a a = 1 log a (x y)= log a x + log a y 3

Формулы перехода к другому основанию 4

Вычислите: 5

Сравните 6

7 Определите знак числа:

Основные методы решения логарифмических уравнений

1. Использование определения логарифма l og 2 128= х log х 27= 3 Решим следующие уравнения: а) log 7 (3х-1)=2 б) log 2 (7-8х)=2 9

2. Метод потенцирования Решим следующее уравнение: lg (х 2 -2) = lg х 10 2

11 3. Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества Решим следующее уравнение: 1

12 4 . Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию log 16 х + log 4 х + log 2 х=7 Решим следующее уравнение:

13 5. Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма log 2 (х +1) - log 2 (х -2) = 2 Решим следующие уравнения: а) l og 5 (х +1) + log 5 (х +5) = 1 б)log 9 (37-12х) log 7-2х 3 = 1 в) lg(х 2 -6х+9) - 2lg(х - 7) = lg9 0 1 9

6. Уравнения, решаемые введением новой переменной l g 2 х - 6lgх +5 = 0 Решим следующие уравнения: log 6 2 х + log 6 х +14 = (√16 – х 2) 2 +х 2 14

15 7. Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители log 4 (2х-1)∙ log 4 х =2 log 4 (2х-1) Решим следующие уравнения: log 3 х ∙ log 3 (3х-2)= log 3 (3х-2) 1

8. Метод логарифмирования Решим следующее уравнение: 16

9. Функционально – графический метод log 3 х = 12-х Решим следующее уравнение: 17 1

Определить метод решения уравнения: Уравнение: Метод решения по определению логарифма переход к другому основанию разложение на множители потенцирование введение новой переменной переход к другому основанию использование свойств логарифма логарифмирование графический 18

Да! И кто придумал эти логарифмические уравнения! У меня всё получается!!! Надо решить ещё пару примеров?! Рефлексия 19

Алгебра 11 класс

Тема: « Методы решения логарифмических уравнений »

Цели урока:

образовательная: формирование знаний о разных способах решения логарифмических уравнений, умений применять их в каждой конкретной ситуации и выбирать для решения любой способ;

развивающая: развитие умений наблюдать, сравнивать, применять знания в новой ситуации, выявлять закономерности, обобщать; формирование навыков взаимоконтроля и самоконтроля;

воспитательная: воспитание ответственного отношения к учебному труду, внимательного восприятия материала на уроке, аккуратности ведения записей.

Тип урока : урок ознакомления с новым материалом.

«Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь».
Французский математик и астроном П.С. Лаплас

Ход урока

I. Постановка цели урока

Изученные определение логарифма, свойства логарифмов и логарифмической функции позволят нам решать логарифмические уравнения. Все логарифмические уравнения, какой бы сложности они не были, решаются по единым алгоритмам. Эти алгоритмы рассмотрим сегодня на уроке. Их немного. Если их освоить, то любое уравнение с логарифмами будет посильно каждому из вас.

Запишите в тетради тему урока: «Методы решения логарифмических уравнений». Приглашаю всех к сотрудничеству.

II. Актуализация опорных знаний

Подготовимся к изучению темы урока. Каждое задание вы решаете и записываете ответ, условие можно не писать. Работайте в парах.

1) При каких значениях х имеет смысл функция:

а)

б)

в)

д)

(По каждому слайду сверяются ответы и разбираются ошибки)

2) Совпадают ли графики функций?

а) y = x и

б) и

3) Перепишите равенства в виде логарифмических равенств:

4) Запишите числа в виде логарифмов с основанием 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Вычислите :

6) Попытайтесь восстановить или дополнить недостающие элементы в данных равенствах.

III. Ознакомление с новым материалом

Демонстрируется на экране высказывание:

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
Современный польский математик С. Коваль

Попробуйте сформулировать определение логарифмического уравнения. (Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма ).

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: log а x = b (где а>0, a ≠ 1). Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причем положительное.

Вспомните определение логарифма. (Логарифм числа х по основанию а – это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число х ). Из определения логарифма сразу следует, что а в является таким решением.

Запишите заголовок: Методы решения логарифмических уравнений

1. По определению логарифма .

Так решаются простейшие уравнения вида .

Рассмотрим № 514(а ): Решить уравнение

Как вы предлагаете его решать? (По определению логарифма )

Решение . , Отсюда 2х – 4 = 4; х = 4.

Ответ: 4.

В этом задании 2х – 4 > 0, так как > 0, поэтому посторонних корней появиться не может, и проверку нет необходимости делать . Условие 2х – 4 > 0 в этом задании выписывать не надо.

2. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).

Рассмотрим №519(г): log 5 ( x 2 +8)- log 5 ( x +1)=3 log 5 2

Какую особенность вы заметили? (Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны) . Что можно сделать? (Потенцировать).

При этом надо учитывать, что любое решение содержится среди всех х, для которых логарифмируемые выражение положительны.

Решение: ОДЗ:

X 2 +8>0 лишнее неравенство

log 5 ( x 2 +8) = log 5 2 3 + log 5 ( x +1)

log 5 ( x 2 +8)= log 5 (8 x +8)

Потенцируем исходное уравнение

x 2 +8= 8 x +8

получим уравнение x 2 +8= 8 x +8

Решаем его: x 2 -8 x =0

х=0, х=8

Ответ: 0; 8

В общем виде переходом к равносильной системе :

Уравнение

(Система содержит избыточное условие – одно из неравенств можно не рассматривать).

Вопрос классу : Какое из этих трех решений вам больше всего понравилось? (Обсуждение способов).

Вы имеете право решать любым способом.

3. Введение новой переменной .

Рассмотрим № 520(г) . .

Что вы заметили? (Это квадратное уравнение относительно log3x) Ваши предложения? (Ввести новую переменную)

Решение . ОДЗ: х > 0.

Пусть , тогда уравнение примет вид: . Дискриминант D > 0. Корни по теореме Виета: .

Вернемся к замене: или .

Решив простейшие логарифмические уравнения, получим:

; .

Ответ : 27;

4. Логарифмирование обеих частей уравнения.

Решить уравнение: .

Решение : ОДЗ: х>0, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

. Применим свойство логарифма степени:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Пусть lgx = y, тогда (у + 3)у = 4

, (D > 0) корни по теореме Виета: у1 = -4 и у2 = 1.

Вернемся к замене, получим: lgx = -4, ; lgx = 1, . . Он заключается в следующем : если одна из функций у = f(x) возрастает, а другая y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х .