Тема: Определение расстояний до тел СС и размеров этих небесных тел. Разработка урока по астрономии "определение расстояний до тел солнечной системы и размеров этих небесных тел" Методы определения расстояния до небесных тел

Прямое определение расстояний до сравнительно близких небесных тел основано на явлении параллактического смещения. Суть его заключается в следующем. Близкий предмет при наблюдении его из разных точек проецируется на различные расположенные далеко предметы. Так, держа вертикально карандаш на фоне далекого многоквартирного дома, мы видим его левым и правым глазом на фоне разных окон. Для тел Солнечной системы такое смещение на фоне звезд заметно уже при наблюдении из точек, разнесенных на расстояние, сравнимое с радиусом Земли, а для близких звезд - при наблюдениях из точек, разнесенных на расстояние, сравнимое с радиусом орбиты Земли.

11.1. Горизонтальный экваториальный параллакс

Координаты небесных тел, определенные из разных точек земной поверхности, вообще говоря различны, и называются топоцентрическими координатами. Правда, это заметно лишь для тел Солнечной системы. Для устранения этой неопределенности все координаты тел Солнечной системы приводят к центру Земли и называют геоцентрическими . Угол между направлениями на какое-либо светило из данной точки земной поверхности и из центра Земли называется суточным параллаксом p " светила (рис. 22). Очевидно, что суточный параллакс равен нулю для светила, находящегося в зените, и максимален для светила на горизонте. Такой максимальный параллакс называется горизонтальным параллаксом светила p . Горизонтальный параллакс связан с суточным простым соотношением:

Здесь синусы углов заменены самими углами ввиду их малости.

По сути дела, p - это угол, под которым виден радиус Земли с данного светила. Однако Земля не является идеальным шаром и сплюснута к полюсам. Поэтому на каждой широте радиус Земли свой и горизонтальные параллаксы одного и того же светила разные. Для устранения этих различий принято вычислять горизонтальный параллакс для экваториального радиуса Земли (R 0 = 6378 км) и называть его горизонтальным экваториальным параллаксом p 0 .

Суточный параллакс необходимо учитывать при измерении высот и зенитных расстояний тел Солнечной системы и вносить поправку, приводя наблюдение к центру Земли:

Измерив горизонтальный экваториальный параллакс светила p 0 , можно определить расстояние d до него, т.к.

Заменив синус малого угла p 0 значением самого угла, выраженным в радианах, и имея в виду, что 1 радиан равен 206265", получим искомую формулу:
Замена синуса угла самим углом допустима, так как наибольший из известных горизонтальный экваториальный параллакс Луны равен 57" (у Солнца p 0 =8".79).

В настоящее время расстояния до тел Солнечной системы с гораздо большей точностью измеряются методом радиолокации.

11.2. Годичный параллакс

Угол, под которым с какой-либо звезды виден радиус земной орбиты a , при условии, что он перпендикулярен направлению на нее, называется годичным параллаксом звезды (рис. 23).

По аналогии с горизонтальным экваториальным параллаксом, зная годичный параллакс, можно определять расстояния до звезд:

В километрах расстояния до звезд измерять неудобно, поэтому обычно пользуются внесистемной единицей - парсеком пк , определяемой как расстояние, с которого параллакс равен 1". Само название составлено из первых слогов слов пар аллакс и сек унда. Нетрудно убедиться, что 1 пк = 206 265 а.е. = 3.086 10 18 см. Реже используется такая единица измерения расстояний до звезд, как световой год , определяемый как расстояние, проходимое светом за год (1 пк = 3.26 светового года).

Расстояние до звезды в парсеках определяется через величину годичного параллакса особенно просто

Задачи

60. (477) Параллакс Солнца p 0 =8".8, а видимый угловой радиус Солнца . Во сколько раз радиус Солнца больше радиуса Земли?

Решение: Так как параллакс Солнца есть ни что иное, как угловой радиус Земли, видимый с Солнца, следовательно, радиус Солнца во столько же раз больше радиуса Земли, во сколько его угловой диаметр больше параллакса .

61. (482) В момент кульминации наблюденное зенитное расстояние центра Луны (p 0 =57") было 50 o 00" 00". Исправить это наблюдение за влияние рефракции и параллакса.

Решение: За счет рефракции наблюденное топоцентрическое зенитное расстояние меньше истинного топоцентрического, т.е. . Истинное топоцентрическое зенитное расстояние больше геоцентрического на величину суточного параллакса .

62. (472) Чему равен горизонтальный параллакс Юпитера, когда он находится от Земли на расстоянии 6 а.е. Горизонтальный параллакс Солнца p 0 =8".8.

63. (474) Наименьшее расстояние Венеры от Земли равно 40 млн. км. В этот момент ее угловой диаметр равен 32".4. Определить линейный радиус этой планеты.

64. (475) Зная, что для Луны p 0 =57"02".7, а ее угловой радиус в это время r Л=15"32".6, вычислить расстояние до Луны и ее линейный радиус, выраженные в радиусах Земли, а так же площадь поверхности и объем Луны по сравнению с таковыми для Земли.

65. (483) Наблюденное зенитное расстояние верхнего края Солнца составляет 64 o 55" 33", а его видимый радиус . Найти геоцентрическое зенитное расстояние центра Солнца, учтя рефракцию и параллакс.

66. Из наблюдений известны годичные параллаксы звезд Вега () , Сириус () , Денеб () . Определить расстояние до этих звезд в пк и в а.е.

При определении расстояний до небесных тел мы не можем выполнять прямые измерения, и поэтому для этой цели используют различные косвенные методы. Важнейший из них - метод тригонометрического параллакса.

Если смотреть на какой-либо предмет из разных точек (например, на кончик карандаша, поочередно закрывая то левый, то правый глаз), то можно заметить, что его положение на фоне более далеких предметов изменяется. Изменение направления на предмет при перемещении наблюдателя называют параллаксом. Расстояние между точками, из которых производится наблюдение, называют базисом (в рассмотренном примере это расстояние между глазами).

Измерив параллакс, можно вычислить расстояние до удаленного объекта. Подобный принцип используется в дальномере. В этом приборе базисом служит расстояние между двумя объективами. Определив угол (рис. 1.3) между направлениями на объект из точек A и В и зная базис можно вычислить расстояние до объекта. Заметим, что из точки, где расположен объект базис виден под углом Расстояние до объекта всегда несравненно больше базиса а, и угол всегда очень мал. Если базис перпендикулярен к направлению на объект, то его можно принять равным длине дуги окружности с радиусом Тогда где угол выражен в радианах. Отсюда

С помощью измерения параллаксов вычисляют расстояния до

небесных тел в астрономии. Для измерения расстояния до какой-либо планеты можно определить ее положение на фоне звезд одновременно из двух обсерваторий, расстояние между которыми и будет определять базис. Однако на практике гораздо удобнее производить наблюдение из одной обсерватории в разное время суток, используя перемещение обсерватории при вращении Земли вокруг своей оси. Измеренный таким путем параллакс для определенности условились пересчитывать для одного и того же базиса, равного радиусу земного шара.

При определении расстояния до звезд используют перемещение Земли по орбите, поскольку земные расстояния оказываются в этом случае слишком малы, чтобы служить базисом. С помощью телескопа обычно фотографируют одну и ту же область неба с промежутком времени в полгода. Измерив смещение выбранной звезды относительно более далеких звезд, определяют ее параллакс и вычисляют расстояние до нее. Базисом при этом служит расстояние между двумя диаметрально противоположными точками земной орбиты, из которых проводились наблюдения. Измеренный параллакс звезд условились пересчитывать для одного и того же базиса, равного большой полуоси земной орбиты (напомним, что орбита Земли представляет собой эллипс). Определенный таким образом параллакс называют годичным параллаксом звезды. Он равен углу, под которым со звезды видна большая полуось земной орбиты, перпеникулярная направлению на звезду. Если угол выразить в секундах дуги, то, поскольку получим

П. П. Добронравин

У каждого, кто начинает знакомиться с астрономией и узнает, что до Луны 380 тыс., а до Солнца 150 млн. км, что звездные расстояния измеряются вместо километров сотнями, тысячами и миллионами «световых лет» и «парсеков», возникает вполне естественное и законное сомнение: «А как же измерили эти расстояния, эти миллионы и миллиарды километров? Ведь до Луны, а тем более до Солнца и звезд добраться нельзя, следовательно, нельзя применить и обычные способы измерения расстояний».

Наука и жизнь // Иллюстрации

Рис. 1. Измерение расстояния до недоступного предмета.

Рис. 2. Измерение расстояния до Луны (относительное расстояние Луны и звезды Е сильно искажено).

Наука и жизнь // Иллюстрации

Рис. 3. Прохождение Венеры по диску Солнца (относительные размеры Солнца, Земли и Венеры не в масштабе).

Рис. 4. Противостояние Марса.

Рис. 5. Расположение орбит Марса, Эроса и Земли.

Наука и жизнь // Иллюстрации

Цель этой статьи - изложить вкратце способы, которыми астрономы измеряют расстояния до тел солнечной системы - Луны и Солнца. Определению расстояний более отдаленных объектов - звезд и туманностей - мы посвятим другую статью в с дном из ближайших номеров нашего журнала.

Измерение расстояния до Луны

Способы, применяемые астрономами для определения расстояния до близких к нам небесных тел, в принципе те же самые, которые применяют геодезисты при съемочных работах, землемеры, саперы, артиллеристы и т. д.

Как измерить расстояние до предмета, подойти к которому нельзя, например, до дерева на противоположной стороне реки (рис. 1)?

Топограф или землемер поступит просто. Он отложит на «своем» берегу линию АВ и измерит ее длину. Затем, став на один конец линии в точку А, измерит угол CAB - между направлением своей линии и направлением на предмет С. Перейдя в точку В он измерит угол СВА. А дальше можно поступить двумя способами: можно отложить на бумаге линию АВ в масштабе и построить на ее концах углы CAB и СВА, пересечение сторон которых и дает на плане точку С. Расстояние ее от точек А и В (да и от любой другой точки, отмеченной на плане) представит соответствующее действительное расстояние в том же самом масштабе, в котором изображена линия АВ. Или же можно по формулам тригонометрии, зная одну сторону треугольника и два его угла, вычислить все другие его линии, в том числе и высоту СН - расстояние точки С - далекого дерева до проведенной землемером линии АВ.

Точно так же поступили и астрономы, определяя расстояние до Луны. Если в один и тот же момент два наблюдателя сфотографируют небо с Луной из двух далеких друг от друга мест А и В (рис. 2) и затем сравнят свои снимки, они увидят, что положение Луны относительно звезд несколько различно. Например, звезда Е на снимке наблюдателя А будет видна к северу от Луны, а у наблюдателя В - к югу.

Измеряя снимки или, что проще, определяя положение Луны на небе в двух местах с помощью специальных телескопов, снабженных угломерными приспособлениями, можно по видимому смещению Луны найти и ее расстояние до Земли. Вспомним одну простую теорему из геометрии - сумма углов в четырехугольнике равна 360° - и применим ее к Земле и Луне.

Измерения дадут величину углов z 1 и z 2 - углов между вертикальным направлением в обоих местах и направлением на Луну. Предположим, для простоты, что места А и В лежат на одном меридиане, т. е. на круге, проходящем через оба полюса Земли. ЕЕ - земной экватор и утлы φ 1 и φ 2 -географические широты обоих мест.

Применяя теорему к четырехугольнику OALB, где О - центр Земли, найдем, что

[(180° - z 1)+φ 1 + φ 12 + (180°-z 2)[+] p]= 360°

р = (z 1 + z 2) - (φ 1 + φ 2)

По известным углам найдем угол р, под которым из центра Луны видна линия АВ. Длина линии АВ известна, так как известен радиус Земли и положение мест наблюдения А и В. По длине этой линии и углу р, так же как и в случае недоступного предмета, можно вычислить расстояние до Луны.

Угол, под которым из центра Луны или другого небесного тела видна линия, длиной равная радиусу Земли, называется параллаксом этого небесного светила. Измерив угол р для любой линии АВ, можно вычислить и параллакс Луны.

Такие измерения были сделаны еще древними греками. Современные точные намерения дают для параллакса Луны на ее среднем расстоянии от Земли величину немного меньше градуса - 57" 2",7, т. е. Земля видна с Луны как диск диаметром почти в 2° (в 4 раза больше диаметра видимого нами диска Луны).

Отсюда следует между прочим тесьма интересный вывод: жители Луны (если бы они были там) с большим правом смогли бы сказать, что Земля служит для освещения Луны, чем мы говорим обратное. В самом деле: диск Земли, видимый с Луны, по площади в 14 раз больше видимого нами диска Луны; а так как каждый участок поверхности диска Земли отражает в 6 раз больше света (из-за наличия атмосферы), чем такой же участок диска Луны, то Земля посылает на Луну в 80 раз больше света, чем Луна на Землю (при одинаковых фазах).

По параллаксу Луны сейчас же находим, что расстояние до нее в 60,267 раз больше радиуса Земли или равно 384 400 км.

Однако - это среднее расстояние: путь Луны не точный круг, и Луна, обращаясь вокруг Земли, то подходит к ней на 363000 км, то удаляется на 405 000 км.

Так решается первая, самая простая задача - измерение расстояния до самого близкого к нам небесного тела. Это сравнительно не трудно, потому что видимое смещение Луны велико, и его можно было измерить с помощью даже тех примитивных приборов, которыми пользовались древние астрономы.

Чему равно расстояние до Солнца

Казалось бы, можно применить тот же самый способ и для измерения расстояния: до Солнца - произвести одновременные наблюдения в двух местах, вычислить углы четырехугольников и треугольников, и задача решена. На деле, однако, обнаружилось весьма много трудностей.

Уже древние греки установили, что Солнце во много раз дальше Луны, но во сколько именно - установить не смогли.

Древнегреческий астроном Аристарх нашел, что Солнце в 20 раз дальше Луны; это измерение было неверно. В 1650-1675 гг. голландские и французские астрономы показали, что Солнце дальше Луны примерно в 400 раз. Стало понятным, почему не удавались попытки обнаружить видимое смещение Солнца, как это удалось сделать для Луны. Ведь параллакс Солнца в 400 раз меньше параллакса Луны, всего около 1/400 градуса, или 9 сек. дуги. А это значит, что даже при наблюдении с двух мест Земли, лежащих на противоположных концах диаметра Земли, например с северного и южного полюсов, видимое смещение Солнца было бы равно видимой толщине проволоки в 0,1 мм (человеческий волос) при рассматривании ее с расстояния в 1,5 м. Величина ничтожная, и заметить ее трудно, хотя и возможно с помощью точного угломерного прибора.

Но возникают большие добавочные трудности. Луну наблюдают ночью и ее положение сравнивают с положениями соседних звезд. Днем звезд не видно, и сравнивать положение Солнца не с чем, приходится целиком полагаться на разделенные круги самого прибора. Прибор нагревается лучами Солнца, различные части его деформируются, вызывая появление новых ошибок. Да и сам воздух, нагретый лучами Солнца, неспокоен, край Солнца кажется волнующимся, дрожащим, по небу как бы бегут волны. Погрешности наблюдений будут больше той величины, которую необходимо измерить. От самого простого метода пришлось отказаться и пойти обходными путями.

Наблюдения видимых движений планет производились еще в глубокой древности. Из сравнения этих наблюдений с современными удалось с очень большой точностью определить время обращения планет вокруг Солнца. Так например, мы знаем что Марс совершает свой оборот в 1,8808 земных года. Но третий закон Кеплера говорит: «Квадраты времен обращения планет относятся, как кубы их средних расстояний от Солнца». Отсюда, принимая за единицу среднее расстояние Земли от Солнца, можно вычислить, что среднее расстояние Марса равно 1,5237. Таким путем можно построить точный «план» солнечной системы, нанести орбиты планет, Земли, комет, но у плана будет не хватать «мелочи» - масштаба. Мы сможем уверенно сказать, что Венера в 1,38 раза ближе к Солнцу, чем Земля, а Марс в 1,52 раз дальше, но ничего не будем знать о том, сколько же километров от Венеры или Земли до Солнца. Достаточно, однако, найти хотя бы одно из расстояний в километрах: мы получим в свои руки масштаб и, пользуясь им, сможем измерить любое расстояние на плане.

Именно этот способ был применен для измерения расстояния от Солнца до Земли. Меркурий и Венера находятся ближе к Солнцу, чем Земля. Может оказаться, что когда Земля и Венера будут находиться по одну сторону от Солнца, - центры Солнца и обеих планет окажутся на одной "прямой линии (рис. 3). Венера будет видна с Земли на диске Солнца. Расстояние от Земли до Венеры будет почти в 4 раза меньше расстояния до Солнца, а параллакс ее почти в 4 раза больше параллакса Солнца. Кроме того, нужно будет определить положение Венеры относительно центра Солнца, что можно сделать гораздо точнее, чем определение видимого положения Солнца (ошибки, присущие инструменту, влияют значительно меньше при определении относительного положения двух небесных тел).

Если бы движение Земли и Венеры происходило в одной и той же плоскости, то «прохождения Венеры по диску Солнца» наблюдались бы каждый раз, когда Венера, движущаяся быстрее Земли, обгоняет ее, т. е. примерно раз в 1 год и 7 мес. Но плоскости путей Земли и Венеры наклонены друг к другу. Обгоняя Землю, Венера проходит выше или ниже Солнца и не может быть наблюдаема, так как она повернута к Земле темной, не освещенной Солнцем стороной. Мы увидим ее на диске Солнца лишь в том случае, если и «обгон» будет происходить вблизи линии пересечения плоскостей орбит обеих планет.

Такое «счастливое совпадение» случается не часто. После одного прохождения второе следует через 8 лет, но зато следующее - лишь через 105-120 лет. Впервые явление наблюдали в 1639 г. Следующие прохождения - 1761, 1769, 1874 и 1882 гг. наблюдались уже весьма тщательно для определения точного расстояния до Солнца. Для наблюдения последних двух прохождений было снаряжено большое число специальных экспедиций. Наблюдатели в далеко расположенных пунктах с наибольшей доступной точностью наблюдали моменты начала и конца явления, а также положение Венеры на диске Солнца. При наблюдениях последних прохождений применялось уже фотографирование Солнца. Видимый путь Венеры по диску Солнца будет несколько смещен у обоих наблюдателей (рис. 3). Из величины смещения можно вычислить расстояние от Земли до Венеры, т. е. найти тот ключ, масштаб, которого недоставало в построенном плане солнечной системы. Наблюдений прохождений Венеры дали для параллакса Солнца величину 8",86 и для расстояния Солнца - 148 000 000 км.

Два ближайших прохождения Венеры по диску Солнца будут наблюдаться 8 июня 2004 г. и 6 июня 2012 г.

Могут наблюдаться и прохождения по диску Солнца ближайшей к Солнцу планеты - Меркурия. Они бывают значительно чаще, чем прохождения Венеры, но представляют несравненно меньше интереса для определения расстояния до Солнца: в момент прохождения расстояние от Земли до Меркурия составляет около 90 млн. км, и параллакс его лишь в 1,5 раза больше параллакса Солнца.

Другое удобное расположение планет бывает тогда, когда Земля, двигаясь быстрее Марса, перегоняет его (рис. 4). В это время Марс виден на ночном небе в противоположном от Солнца направлении, почему такие положения его и называются противостояниями. Расстояние между Землей и Марсом уменьшается в среднем до 78 млн. км. Однако орбита Марса сильно отлична от круга, и если сближение Марса и Земли происходит в августе - сентябре, расстояние до Марса может быть всего 56 млн. км. Марс виден всю ночь, и его положение можно очень точно определить, пользуясь как опорными точками близкими звездами.

Наблюдения из двух пунктов дадут параллакс Марса, а отсюда можно вычислить его расстояние и по нему - масштаб к плану солнечной системы. Приближения Марса и Земли - противостояния Марса - повторяются приблизительно через 2 года и 2 мес., а так называемые «великие противостояния», когда Марс ближе всего к Земле, - раз в 15 -17 лет. Последнее «великое противостояние» было 24 августа 1924 г., а следующее будет 23 июля 1939 г. Каждое противостояние используется не только для определения расстояния, но и для физических наблюдений самого Марса.

Еще ближе к Земле может подойти Эрос, одна из семейства малых планет, орбиты большинства которых лежат между орбитам Марса и Юпитера. Орбита Эроса очень сильно отлична от круга, и значительная часть ее лежит даже внутри орбиты Марса (рис. 5). В некоторых случаях расстояние между Землей и Эросом может уменьшаться до 22 млн. км, т. е. до 1/7 расстояния Солнца, довольно близко Эрос подходил к Земле в 1900-1901 гг. (на 48 млн. км) и в 1930- 1931 гг. (на 26 млн. км). Эрос наблюдался в это время, как звездочка, положение которой среди других звезд может быть определено весьма точно.

Нужно заметить, что для определения параллакса по наблюдениям Эроса не нужно обязательно производить наблюдения из двух далеких пунктов. Вращение Земли вокруг оси уносит с собой наблюдателя и, если он находится на экваторе, за 12 час. вращение Земли перенесет его на расстояние, равное диаметру Земли, или 12,7 тыс. км. Наблюдатель, расположенный к северу или к югу от экватора, переместится меньше. И если снимки Эроса произведены в начале и в конце ночи, - они равносильны снимкам, сделанным на большом расстоянии друг от друга. Нужно, конечно, принять во внимание движение Земли и Эроса по орбитам за время между снимками.

Существуют ещё другие способы измерения расстояния до Солнца, но они не являются основными, и рассматривать их мы не имеем возможности. Между прочим такой же метод использовался древними и для определения параллакса Луны.

Сопоставление всех наиболее точных определений дает для параллакса Солнца величину 8",803 с возможной ошибкой в 0",001, а отсюда - среднее расстояние Земли равно 149 450 000 км с возможной ошибкой в 17 000 км.

Среднее расстояние Солнца-Земля является основным для выражения других расстояний в солнечной системе и названо «астрономической единицей». Но действительное расстояние до Солнца может отличаться от среднего, так как путь Земли около Солнца - не круг, а эллипс. В июле расстояние до Солнца на 2,5 млн. км больше среднего, а в январе на столько же меньше.

Астрономическая единица есть та мера, которой мы измеряем «не только все расстояния до тел солнечной системы, но и расстояния самых далеких звезд, туманностей и звездных скоплений. Словом, это та мера, при помощи которой мы определяем масштаб строения вселенной. Поэтому на определения ее потрачено много усилий, и известна она современной науке с большой точностью.

Может показаться, что указанная выше ошибка в 17 000 км велика; но не надо забывать, что эта ошибка составляет лишь немногим больше 0,0001 всей астрономической единицы. Представим себе, что мы измерили длину комнаты в 9 м и при этом измерении ошиблись всего лишь на 1 мм. По сравнению с длиной комнаты эта ошибка соответствует точности, с которой известно среднее расстояние Земли от Солнца. Но если попробовать на самом деле измерить длину в 9 м с ошибкой в 1 мм, - это окажется совсем не так просто: потребуется большое внимание и хорошие измерительные инструменты, чтобы обеспечить такую точность при обыкновенном измерении по гладкому полу, во всех точках доступному измерителю. Тем более нужно отдать должное точности, с которой произведено измерение через межпланетное пространство расстояния до Солнца, к которому ни один человек ее приближался ближе чем на 147 млн. км, - расстояние, которое пушечное ядро сможет пролететь, двигаясь со скоростью 1000 м/сек, только в 4,5 года.

Тема: Определение расстояний до тел СС и размеров этих небесных тел.

Ход урока:

I. Опрос учащихся (5-7 минут). Диктант.

Ученый, создатель гелиоцентрической системы мира.
Ближайшая точка орбиты ИСЗ.
Значение астрономической единицы.
Основные законы небесной механики.
Планета, открытая на «кончике пера».
Значение круговой (I космической) скорости для Земли.
Отношение квадратов периодов обращения двух планет равно 8. Чему равно отношение больших полуосей этих планет?
В какой точке эллиптической орбиты ИСЗ имеет минимальную скорость?
Немецкий астроном, открывший законы движения планет
Формула третьего закона Кеплера, после уточнения И. Ньютона.
Вид орбиты межпланетной станции, посланной для облета Луны.
Чем отличается первая космическая скорость от второй.
В какой конфигурации находится Венера, если она наблюдается на фоне диска Солнца?
В какой конфигурации Марс ближе всего к Земле.
Виды периодов движения Луны=(временных)?

II Новый материал

1) Определение расстояний до небесных тел.
В астрономии нет единого универсального способа определения расстояний. По мере перехода от близких небесных тел к более далеким одни методы определения расстояний сменяют другие, служащие, как правило, основой для последующих. Точность оценки расстояний ограничивается либо точностью самого грубого из методов, либо точностью измерения астрономической единицы длины (а. е.).
1-й способ: (известен) По третьему закону Кеплера можно определить расстояние до тел СС, зная периоды обращений и одно из расстояний.
Приближённый метод.

2-й способ: Определение расстояний до Меркурия и Венеры в моменты элонгации (из прямоугольного треугольника по углу элонгации).
3-й способ: Геометрический (параллактический).
Пример: Найти неизвестное расстояние АС.
[АВ] – Базис - основное известное расстояние, т. к. углы САВ и СВА – известны, то по формулам тригонометрии (теорема синусов) можно в ∆ найти неизвестную сторону, т. е. . Параллактическим смещением называется изменение направления на предмет при перемещении наблюдателя.
Параллакс- угол (АСВ), под которым из недоступного места виден базис (АВ - известный отрезок). В пределах СС за базис берут экваториальный радиус Земли R=6378км.

Пусть К - местонахождение наблюдателя, из которого светило видно на горизонте. Из рисунка видно, что из прямоугольного треугольника гипотенуза, расстояние D равно: , так как при малом значении угла если выражать величину угла в радианах и учитывать, что угол выражен в секундах дуги, а 1рад =57,3 0 =3438"=206265" , то и получается вторая формула.

Угол (ρ) под которым со светила, находящегося на горизонте (┴ R - перпендикулярно лучу зрения) был бы виден экваториальный радиус Земли называется горизонтальным экваториальным параллаксом светила.