Изометрия геометрических тел. Урок черчения "Геометрические тела. Комплексные чертежи многогранников". Построение изометрических проекций цилиндра и конуса

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

КАФЕДРА «ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИЕ ДИСЦИПЛИНЫ»

Комплексный чертеж

и аксонометрическая проекция

группы геометрических тел.

Нахождение проекций точек,

принадлежащих поверхности тела

Методические указания

к практическому занятию по дисциплине

«Инженерная графика»

РПК «Политехник»

Волгоград

Комплексный чертеж и аксонометрическая проекция группы геометрических тел. Нахождение проекций точек, принадлежащих поверхности тела: Методические указания к практическому занятию по дисциплине «Инженерная графика» / Сост. , ; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2007. – 23 с.

Рассматривается построение по двум заданным видам группы геометрических тел (призма, цилиндр, конус и пирамида) третьего изображения, их аксонометрической проекции (изометрии), а также построение двух других проекций точки и в изометрии по заданной одной ее проекции на ортогональном чертеже.

Содержится необходимый для выполнения графической работы материал, представлен пример выполнения и контрольные вопросы.

Предназначены для студентов, специальностей 151001.51 «Технология машиностроения», 260704.51 «Технология текстильных изделий», 140212.51 «Электроснабжение».

Ил. 9. Библиогр.: 7 назв.

Рецензент:

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

Составители: Денис Олегович Ладыгин, Валентина Антоновна Деманова

Комплексный чертеж и аксонометрическая проекция группы геометрических тел.

Нахождение проекций точек, принадлежащих поверхности тела.

Методические указания к практическому занятию по дисциплине «Инженерная графика»

Темплан 2007 г., поз. № 14.

Подписано в печать г. Формат 60×84 1/16.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 1,44. Усл. авт. л. 1,31.

Тираж 100 экз. Заказ №

Волгоградский государственный технический университет

400131 Волгоград, просп. им. , 28.

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.

Ó Волгоградский

государственный

технический

Рис. 1. Примеры деталей сложной формы, ограниченные

элементарными поверхностями

практическОЕ ЗАНЯТИЕ

Комплексный чертеж и аксонометрическая

проекция группы геометрических тел.

Нахождение проекций точек,

принадлежащих поверхности тела.

Цель : 1. Закрепление знаний по темам «Аксонометрические проекции», «Проекции геометрических тел на три плоскости проекций», «Проекции моделей».

2. Научить студентов по двум заданным видам группы геометрических тел строить третье изображение, а также их аксонометрическую проекцию (изометрию).

3. Развить пространственное воображение у студентов.

4. Изучить методы изображения предметов на плоскости.

Продолжительность : 4 часа.

В результате выполнения данной работы студенты должны знать методы и виды проецирования на плоскость.

Уметь:

· выполнять геометрические построения на чертежах;

· применять способы построения изображений пространственных форм на плоскости и решать проекционные задачи;

· строить аксонометрическую проекцию.

Содержание задания : Студент согласно своему варианту (номеру по списку журнала) выбирает задание, расположенное в Приложении Б, в котором изображена группа геометрических тел (призма, цилиндр, конус и пирамида) на виде сверху (горизонтальный) и спереди (фронтальный); требуется построить изображение на профильной плоскости проекций (вид слева) данной группы, изометрическую проекцию, а также по заданной одной проекции точки на ортогональном чертеже, требуется построить две другие ее проекции и в изометрии по примеру, приведенному в Приложении А.

Требования к оформлению задания:

1. Работа выполняется на одном листе чертежной бумаги стандартного формата АЗ (297x420) (построение 3-х проекций группы тел) и на одном листе формата А4 (210x297) (аксонометрическая проекция) с соблюдением правил оформления чертежей согласно ГОСТов ЕСКД.

2. Все построения выполняются в карандаше с помощью чертежных инструментов (циркуль, линейка, ластик) точно, аккуратно и четко.

3. Построения выполняются:

· сплошными основными линиями (s = 0,8 - 1,0 мм) (для проекций геометрических тел);

· сплошными тонкими линиями (s/2 - s/3) (для линий связи, невидимых, центровых и осевых).

4. Все надписи на чертеже выполняются чертежным шрифтом номером 5 или 3,5.

Порядок выполнения:

1. Внимательно ознакомиться с данными методическими указаниями.

2. Взять свой вариант задания из Приложения Б.

3. Внимательно изучить задание и распределить по рабочему полю чертежа весь материал задания, подлежащий выполнению.

4. Перечертить виды спереди и сверху так, как они указаны в задании, и попытаться мысленно представить расположение геометрических тел в пространстве

5. Подойти к преподавателю для простановки проекций точек.

6. Выполнить вид слева, изометрическую проекцию группы тел и показать на них проекции точек А, В, С, D.

7. Проставить размеры, обвести изображения, провести самопроверку и подготовиться к защите задания по контрольным вопросам. Защита практической работы проводится на занятиях, в отдельных случаях, вне занятий, но до момента выполнения следующей работы.

1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

При проецировании многогранника на плоскость чертежа необходимо уметь мысленно разделять его на составные части и правильно определять порядок их изображения. При проецировании многогранника его грани проецируются как плоскости, ребра – как прямые различного положения, а вершины – как точки.

Ниже приводятся правила (порядок) построения каждого геометрического тела в отдельности.

1.1. Призма

Ортогональные проекции призмы.

Рассмотрим на примере правильной прямой пятиугольной призмы ее ортогональные проекции. На рис. 2, а показано проецирование призмы на

три плоскости проекций.

Для построения ортогонального чертежа сначала проводят оси координат Ох, Оу и О z (рис. 2, б). Затем проводят осевые и центровые линии и строят горизонтальную проекцию призмы. Для этого на плоскости Н строят правильный пятиугольник. Поскольку призма прямая, ее ребра и грани располагаются перпендикулярно к основаниям, и на горизонтальной проекции два основания сольются в одно, причем видимым будет верхнее основание. Все боковые грани спроецируются в отрезки прямых линий (1 2, 2 3 и т. д.), которые, в свою очередь, совпадут со сторонами основания. Боковые ребра призмы спроецируются в точки как прямые, перпендикулярные к плоскости проекций, и совпадут с вершинами основания (точки 1 , 2, 3, 4, 5). Итак, горизонтальная проекция данной призмы изобразилась в виде правильного пятиугольника, в который спроецировались не только два основания, но и боковые грани и ребра. Так как основания призмы параллельны плоскости Н , то их горизонтальная проекция изобразилась в натуральную величину.

Для построения фронтальной проекции призмы из горизонтальной проекции каждой вершины основании проводят линии проекционной связи параллельно оси Оу до оси Ох (рис. 3, а). Таким образом, с горизонтальной проекции перенесены на фронтальную расстояния между вершинами 1...5, измеренные параллельно Ох. Из этих точек (1"...5") параллельно оси О z проводят направления пяти ребер боковой поверхности и на них откладывают высоту призмы. Так как верхнее основание призмы параллельно плоскости Н , а нижнее расположено в плоскости Н, то на фронтальную плоскость V эти основания спроецируются как отрезки, один из которых будет лежать на оси Ох (нижнее основание), а второй будет находиться на расстоянии от оси Ох , равном высоте призмы (верхнее основание). Боковые грани призмы спроецируются в виде прямоугольников. Фронтальная проекция грани, параллельной плоскости V , будет проецироваться в натуральную величину. Остальные грани проецируются с искажением, так как расположены не параллельно плоскости V . На фронтальной плоскости проекций видимыми гранями будут грани с основаниями 1 2 и 1 5 , а остальные будут невидимые.

Ребра, проведенные из точек 1 , 2 и 5 , будут видимыми, а из точек 3 и 4 – невидимыми; поэтому их проекции на плоскости V изображают штриховой линией (рис. 2,а).

Для построения профильной проекции призмы надо провести линии проекционной связи от точек 1...5 горизонтальной проекции и высоту призмы перенести с фронтальной проекции. На профильной плоскости проекций грани с основаниями 1 2 и 2 3 будут видимыми, а с основаниями 1 5 и 5 4 – невидимыми. Грань с основанием 3 4 спроецируется в прямую линию, так как расположена перпендикулярно плоскости W . Профильные проекции ребер, проведенные из точек 3" и 4", совпадут. Таким образом, в одну прямую линию спроецируются два ребра и грань, расположенная между ними. На профильную плоскость проекций все грани призмы проецируются с искажением, так как ни одна грань не параллельна плоскости W .

Построение призмы в аксонометрии (изометрии).

Построение начинают с проведения аксонометрических осей, на которых строят нижнее основание (рис. 3, б). Для упрощения построения начало координат (точку О ) располагают в центре основания призмы (точка О1 ) . Высота призмы совпадает с осью О z , а центровые линии – с осями Ох и Оу. Сторона 3 4 на горизонтальной плоскости проекций параллельна оси Ох. В изометрии это сохранится. Сторона 3 4 будет находиться от точки О1 на расстоянии, равном расстоянию от точки О1 до стороны 3 4 на горизонтальной плоскости проекций, в изометрии это расстояние откладывают но оси Оу. Затем на плоскости Н по центровой линии измеряют расстояние от точки О1 до прямой, соединяющей вершины 2 и 5, и соответственно переносят его в изометрию. Через отложенную на центровой линии точку проводят прямую параллельно оси Ох и на ней откладывают расстояния между вершинами 2 и 5, взятые с горизонтальной проекции. Вершина 1 основания лежит на центровой линии, параллельной оси Оу . В изометрии от точки О1 по соответствующей центровой линии откладывают расстояние до вершины 1 , взятое с горизонтальной проекции. Полученные точки (вершины углов) соединяют отрезками. Для построения боковых граней призмы из каждой вершины нижнего основания параллельно оси О z проводят прямые, на которых откладывают высоту призмы, взятую с фронтальной или профильной проекций. По

ченные точки соединяют отрезками и получают верхнее основание.

Рис. 3, б.

Построение точки, лежащей на поверхности призмы.

Точка, лежащая на боковой грани призмы, задана одной проекцией на ортогональном чертеже, требуется построить две другие ее проекции. Сначала строят проекцию точки на той плоскости проекций, где грань, на которой лежит заданная точка, проецируется в линию. Рассмотрим это на примере точки А (рис. 3, а), которая задана проекцией а". Так как на плоскости V грань, на которой лежит точка А, невидимая, обозначение точки а" взято в скобки. На плоскость Н эта грань проецируется в отрезок, совпадающий со стороной основания 2 3. Из точки а" проводят вниз линию проекционной связи до пересечения с отрезком 2 3, получают точку а – горизонтальную проекцию точки А.

Для нахождения профильной проекции точки А проводят линии проекционной связи от горизонтальной и фронтальной проекций (точки а и а") до их взаимного пересечения на плоскости W , получают точку а", которая и будет искомой профильной проекцией точки А.

Для нахождения точки А в изометрии построение начинают с нахождения вторичной горизонтальной проекции, т. е. строят вторичную проекцию на стороне 2 3. На плоскости Н через горизонтальную проекцию а точки А параллельно оси Ох проводят дополнительную прямую линяю, чтобы определить расстояние от точки а до центровой линии основания, в данном случае оно равно п. В изометрии параллельно оси Ох проводит дополнительную прямую на расстоянии п от центровой линии, параллельной оси Ох. В пересечении этой линии и отрезка 2 3 получают точку а. Так как точка А лежит на какой-то высоте от нижнего основания, то от точки а параллельно оси О z проводят прямую линию и на ней от точки а откладывают отрезок h , взятый с фронтальной (или профильной) проекции. Полученная точка и будет искомой точкой А.

1.2. Пирамида

Пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а боковые грани являются треугольниками, имеющими общую вершину.

Элементы пирамиды показаны на рис. 4.

Ортогональные проекции правильной полной пирамиды.

На рис. 4 показано проецирование пирамиды. Порядок выполнения ортогонального чертежа такой же, как и чертежа призмы.

Сначала проводят оси координат, осевые и центровые линии, а потом на центровых линиях строят горизонтальную проекцию пирамиды, начиная построение с многоугольника, лежащего в основании (рис. 5). Основание пирамиды расположено в плоскости Н. Все боковые грани спроецируются в треугольники. Горизонтальная проекция вершины S совпадает с центром основания – точкой О1 . Таким образом, на горизонтальной проекции пирамиды боковые грани будут видимыми, но спроецируются они с искажением, так как располагаются наклонно относительно плоскости Н. Плоскость основания будет невидимой, так как закрыта боковыми гранями пирамиды.

При построении фронтальной проекции пирамиды ее основание как

плоскость, перпендикулярная к плоскости V , спроецируется в отрезок, который совпадает с осью Ох, так как основание лежит в плоскости Н. Боковые грани пирамиды проецируются в треугольники с искажением, так как расположены наклонно относительно плоскости V . Грани 1 S 2 и 1 S 3 будут видимыми, а грань 2 S 3 – невидимой.

На профильную плоскость проекций основание пирамиды тоже спроецируется в отрезок, лежащий на оси Оу. Проекции боковых граней 1 S 2 и 1 S 3 на плоскости W совпадают, а грань 2 S 3 проецируется в прямую линию, так как она расположена перпендикулярно плоскости W . Видимой гранью боковой поверхности будет грань 1 S 2.

Построение правильной полной пирамиды в аксонометрии (изометрии).

Построение начинают с проведения аксонометрических осей Ох, Оу и О z (рис. 6, б). Высоту пирамиды располагают на оси О z . Вторичная проекция вершины будет находиться в точке О1 . От точки О1 по оси Оу откладывают расстояние до вершины 1 основания и до середины стороны основания 2 3, взятое с горизонтальной проекции пирамиды, где оно измеряется от горизонтальной проекции s вершины S . Через середину стороны 23 проводят прямую линию параллельно оси Ох и на ней в обе стороны откладывают отрезки, равные половине стороны основания. Этот размер берется с горизонтальной проекции основания. От точки О1 по оси О z откладывают высоту пирамиды, которую берут с фронтальной или профильной проекции, где она изображается без искажения, так как параллельна оси О z . Видимой боковой гранью пирамиды будет ближняя грань 1 S 2 . Две другие грани боковой поверхности и основание невидимые.

Построение точки, лежащей на поверхности пирамиды.

Точка А лежит на боковой поверхности пирамиды, задана ее профильная проекция а" (рис. 6, а). Требуется построить фронтальную и горизонтальную проекции этой точки, а также построить ее на изометрическом изображении пирамиды.

Рис. 6, а. Рис. 6, б.

Поскольку боковая грань, на которой лежит точка А, располагается наклонно ко всем трем плоскостям проекций, то ни на одну из этих плоскостей она не спроецируется в линию, как это было у правильной пятиугольной призмы. Построить две проекции заданной точки можно только с помощью дополнительных построений, для чего в плоскости 1 S 2 проводят прямую через точку А. Профильную проекцию этой прямой можно провести в любом направлении через проекцию а" точки А. На эпюре эта проекция проведена через проекцию s " вершины S до пересечения со стороной основания 1"2" в точке 4"". Для построения проекций точки А нужно построить проекции дополнительной прямой s 4 на плоскостях V и H .

Для построения ее горизонтальной проекции от точек 4" и а" с профильной проекции на горизонтальную проводят линии проекционной связи: из точки 4" – до пересечения со стороной 1 2 в точке 4; из точки а" – до пересечения с построенной прямой s 4 в точке а, которая будет горизонтальной проекцией точки А. Имея две проекции точки А, фронтальную проекцию а" точки А находят с помощью линий проекционной связи.

При построении точки А в изометрической проекции необходимо сначала построить на основании пирамиды ее вторичную горизонтальную проекцию (рис. 6, б). Для этого на плоскости Н определяются координаты Х A = п и УА = т относительно горизонтальной проекции s вершины S . Эти размеры (п и т) откладывают в изометрии от точки О1 (рис. 6, б), получают вторичную горизонтальную проекцию а1 точки А.

Через построенную точку а1 параллельно оси О z проводят линию, на которой откладывают расстояние h , взятое с фронтальной или профильной проекции. Полученная точка А и будет изображением точки А в изометрии.

1.3. Цилиндр

Ортогональные проекции полного прямого кругового цилиндра.

Горизонтальная проекция полного прямого кругового цилиндра будет кругом (рис. 7, а), поскольку основания цилиндра при проецировании совпадут. При этом верхнее основание будет видимым, а нижнее – невидимым. Боковая цилиндрическая поверхность перпендикулярна к основаниям, и поэтому она спроецируется в окружность. Следовательно, на горизонтальной проекции в одну и ту же окружность спроецировались очерки двух оснований цилиндра и его боковая поверхность.

На фронтальную плоскость проекций цилиндр спроецируется в прямоугольник, верхняя сторона которого является фронтальной проекцией верхнего основания, а нижняя сторона (лежащая на оси Ох) – проекцией нижнего основания. Две другие стороны этого прямоугольника представляют собой фронтальные проекции двух крайних образующих цилиндрической поверхности, проходящих через точки 1", 2".

Профильная проекция цилиндра представляет собой такой же прямоугольник, что и фронтальная, но проекции крайних образующих проходят через точки 3" и 4".

Образующие цилиндра, которые на фронтальной проекции изобразились крайними, на профильной проекции, изобразятся совпадающими с осью вращения и друг с другом. При этом образующая, проходящая через точку 2, 1 , – видимой.

Образующие цилиндра, которые на профильной проекции изобразились крайними, на фронтальной проекции изобразятся совпадающими с осью вращения и друг с другом. При этом образующая, проходящая через точку 4, будет невидимой, а образующая, проходящая через точку 3, – видимой.

На фронтальной проекции видимой будет та часть цилиндра, которая на горизонтальной проекции располагается вниз от центровой линии 1 2 .

На профильной проекции видимой будет та часть цилиндра, которая на горизонтальной проекции располагается слева от центровой линии 3 4.

Крайние образующие, проходящие через точки 1, 2, 3, 4, на горизонтальной проекции изобразятся точками и будут лежать в пересечении центровых линий и окружности.

Построение цилиндра в аксонометрии.

На рис. 7, б показано построение прямого кругового полного цилиндра в прямоугольной изометрической проекции. Сначала проводят центровые линии нижнего основания параллельно аксонометрическим осям Ох и Оу. Затем из точки О2 проводят ось параллельно оси О z и откладывают высоту цилиндра, взятую с фронтальной или профильной проекции. Через полученную точку О1 проводят центровые линии параллельно осям Ох и Оу. На осях, проведенных из точек О1 и О2 строят овалы, которые являются изображениями оснований цилиндра в прямоугольной изометрии.

Изображение окружности в прямоугольной изометрической проекции во всех трех плоскостях проекций представляет собой одинаковые по форме эллипсы (рис. 8).

Если изображаемая окружность лежит в плоскости Н или в плоскости, параллельной Н , направление малой оси эллипса будет совпадать с направлением оси О z (рис. 8). Если окружность расположена в плоскости V или в плоскости, параллельной ей, направление малой оси будет совпадать с направлением оси Оу. Если окружность расположена в плоскости W или в плоскости, параллельной ей, направление малой оси будет совпадать с осью Ох.

Рис. 8.

Большую ось эллипса проводят перпендикулярно малой оси. Величина малой оси эллипса берется равной 0,71d , а величина большой оси – 1,22 d , где d – диаметр изображаемой окружности.

При построении эллипса, изображающего окружность небольшого диаметра, достаточно построить восемь точек, принадлежащих эллипсу (рис. 7). Четыре из них являются концами осей эллипса (А, В, С, D ), а четыре других (N 1 , N 2 , N 3 , N 4 ) расположены на прямых, параллельных аксонометрическим осям, на расстоянии, равном радиусу изображаемой окружности от центра эллипса.

Построение точки, лежащей на поверхности цилиндра.

Точка А, лежащая на боковой поверхности цилиндра (рис. 7, а), задана фронтальной проекцией а" как невидимая. Требуется построить ее горизонтальную и профильную проекции. Сначала строят горизонтальную проекцию точки А. Для этого от фронтальной проекции а" точки А проводят линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией цилиндра – окружностью. Эта линия пересекает окружность дважды. Так как точка А задана фронтальной проекцией как невидимая, то на горизонтальной проекции из двух точек выбирается та, которая лежит ближе к оси Ох. Профильную проекцию а" точки А строят с помощью линий проекционной связи, проведенных с фронтальной и горизонтальной проекций. Так как на горизонтальной проекции цилиндра проекция а точки А лежит слева от центровой линии параллельной оси Оу, то на профильной проекции точка А будет видимой.

Для построения точки А в прямоугольной изометрической проекции сначала строят вторичную проекцию а точки А по размеру п, взятому с горизонтальной проекции. От точки а , параллельно оси О z проводят прямую, на которой от точки а откладывают расстояние h , взятое с фронтальной или профильной проекции, получают точку А.

1.4. Конус

Ортогональные проекции полного прямого кругового конуса.

Горизонтальная проекция полного прямого кругового конуса – круг (рис. 9, а), в который спроецировалась боковая поверхность конуса как видимая. Основание конуса при проецировании совпадет с проекцией боковой поверхности и будет невидимым.

Рис. 9, а. Рис. 9, б.

Фронтальная и профильные проекции конуса изобразятся как равнобедренные треугольники, нижние стороны которых являются проекциями основания конуса. При проецировании они совпадут с осями Ох и Оу, так как конус стоит на плоскости Н .

Две другие стороны треугольника (1" S " и 2" S ") на фронтальной плоскости проекций будут проекциями крайних образующих конуса. На горизонтальной плоскости проекций проекции этих образующих совпадают с диаметром основания, параллельным оси Ох, на профильной плоскости проекций их проекции совпадают с осевой линией. Видимой будет образующая S 1 .

Две стороны треугольника (3" S " и 4" S " ) на профильной проекций представляют собой профильные проекции крайних образующих конуса. На горизонтальной плоскости проекций эти образующие при проецировании совпадают с диаметром основания, параллельным оси Оу, на фронтальной плоскости проекций проекции этих образующих совпадают с осью вращения. Видимой будет образующая S 3.

Построение конуса в аксонометрии.

На рис. 9, б показано построение прямого кругового конуса в прямо-

угольной изометрической проекции. Построение начинают с проведения центровых линий основания параллельно – аксонометрическим осям Ох, Оу и оси вращения, параллельной оси О z . На центровых линиях строят окружность основания, которая в изометрии изображается как эллипс. Для упрощения построения эллипс заменяют овалом. Затем от точки O 1 по оси вращения (параллельной оси О z ) откладывают высоту конуса, взятую с фронтальной или профильной проекции. Точка S будет вершиной конуса. Вершину конуса соединяют касательными с основанием.

Построение точки, лежащей на поверхности конуса.

Точка, лежащая на боковой поверхности конуса, задана горизонтальной проекцией а , требуется построить ее фронтальную и профильную проекции. Для этого через горизонтальные проекции вершины S и точки А (s и а) проводят образующую до пересечения с основанием конуса (рис. 9, а – точка 5). Затем строят фронтальную проекцию этой образующей. С помощью линии проекционной связи определяют фронтальную проекцию 5" точки 5. Соединив прямой точки s " и 5" , получают фронтальную проекцию образующей, на которой лежит точка А. С горизонтальной проекции проводят линию проекционной связи до пересечения с построенной образующей. Точка пересечения будет фронтальной проекцией а" точки А. Профильную проекцию а" точки А строят с помощью линий проекционной связи, проведенных с горизонтальной и фронтальной проекции.

Точка В, лежащая на боковой поверхности конуса, задана фронтальной проекцией b " как невидимая (рис. 9, а), требуется построить ее горизонтальную и профильную проекции. В данном случае для построения проекций точки В используют вспомогательную окружность (параллель), проходящую через точку В. На фронтальной проекции эта окружность изобразится отрезком, заключенным между крайними образующими, и будет проходить через фронтальную проекцию b " точки В. Построим горизонтальную проекцию этой окружности. Радиусом, равным расстоянию от оси вращения (на фронтальной проекции) до крайней образующей, измеренному по отрезку, который проходит через точку b ", проведем окружность на горизонтальной проекции. Опустив на эту окружность линию связи из точки b ", получим две точки пересечения. Так как точка В на фронтальной проекции задана невидимой, на горизонтальной проекции ее проекция находится выше диаметра 1 2, т. е. на той части конуса, которая на фронтальной проекции невидимая.

На горизонтальной плоскости проекций точка В будет видимой, т. к. при проецировании конуса на горизонтальную плоскость проекций боковая поверхность будет видимой.

Профильную проекцию b " точки В , строят с помощью линий проекционной связи, проведенных с горизонтальной и фронтальной проекции. Здесь она будет видимой, так как лежит в левой части горизонтальной проекции конуса, а эта часть конуса на профильной проекции видимая.

Построение точек А и В в изометрической проекции (рис. 9, б) выполняют в следующей последовательности: строят вторичные горизонтальные проекции этих точек, и от них параллельно оси О z откладывают расстояния, взятые с фронтальной или профильной проекции, от основания конуса до проекций этих точек.

2. Контрольные вопросы

Как по двум заданным проекциям призмы построить третью? Как построить изометрическую проекцию призмы (цилиндра, конуса, пирамиды) ? Как по заданной одной проекции точки на ортогональном чертеже призмы (цилиндра, конуса, пирамиды) построить две другие ее проекции и в изометрии? Как изображается окружность в прямоугольной изометрической проекции? Порядок построения. Какие виды аксонометрических проекций Вы знаете? Что называется пирамидой? Ее элементы.

1. Боголюбов. – М.: Машиностроение, 1989.

2. Брилинг: Учебник для сред. спец. учеб. заведений. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Стройиздат, 1989. – 420с.: ил.

4. , Миронов графика: Учебник. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк.; Издательский центр «Академия», 2001. – 288 с.: ил.

5. , Суворова черчение в вопросах и ответах. Справочник. – М.: Машиностроение, 1984.

6. Лагерь графика: Учебник – М.: Высш. шк.; 2003. – 272 с.: ил.

7. Чекмарев графика: Учебник – М.: Высш. шк.; 2002. – 365 с.: ил.

4. ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение А

Пример выполнения задания

Приложение Б

Варианты заданий

Продолжение прил. Б

Продолжение прил. Б

Продолжение прил. Б

Присмотритесь к окружающим нас предметам. Многие из них имеют форму геометрических тел или их сочетаний.

Форма деталей, встречающихся в технике, также представляет собой сочетание различных геометрических тел или их частей. Например, ось (рис. 124, а) образована в результате добавления к одному цилиндру другого цилиндра, меньшего по размерам, а втулка (рис. 124, б) получилась после того, как из цилиндра удалили другой цилиндр меньшего диаметра.

Форма каждого геометрического тела и его изображений на чертеже имеет свои характерные признаки . Этим пользуются, чтобы облегчить чтение и выполнение чертежей.

Деталь мысленно расчленяют на отдельные составляющие ее части, имеющие изображения, характерные для известных нам геометрических тел.

Мысленное расчленение предмета на составляющие его геометрические тела называется анализом геометрической формы .

Из каких геометрических тел состоит деталь, изображенная на рис. 125?

Форма детали состоит из усеченного конуса, цилиндра, куба, цилиндра, части шара (рис. 126, а). Из большего цилиндра удален элемент цилиндрической формы.

После такого анализа форму детали представить легче (рис. 126, б). Поэтому необходимо знать характерные особенности проекций геометрических тел.

Цилиндр и конус. Проекции цилиндра и конуса показаны на рис. 127, а и б. Круги, лежащие в основаниях цилиндра и конуса, расположены параллельно горизонтальной плоскости проекций; проекции оснований на горизонтальную плоскость будут также кругами.

Фронтальная и профильная проекция цилиндра - прямоугольники, а конуса - равнобедренные треугольники.

На рис. 127в, дан чертеж усеченного конуса, горизонтальная проекция которого представляет собой две окружности, а фронтальная проекция - равнобочную трапецию.

Выполнение чертежей цилиндра и конуса начинают с проведения осей симметрии.

Из рис. 127, а видно, что фронтальная и профильная проекции цилиндра одинаковы. То же можно сказать о проекциях конуса. Поэтому в данном случае профильные проекции на чертеже лишние. На рисунке они даны лишь для того, чтобы показать, какую форму имеют все три проекции цилиндра и конуса.

Размеры цилиндра и конуса определяются высотой h и диаметром основания d. Для усеченного конуса указывают высоту h и диаметры обоих оснований D и d.

Знак диаметра ∅ позволяет определять форму предмета и по одной проекции (рис. 128).

Для построения изометрической проекции цилиндра и конуса (см. рис. 127, г и д) проводят оси х и у, на которых строят ромб со стороной, равной диаметру предмета, в ромб вписывают овал (построение овала см. рис. 96); вдоль оси z откладывают высоту предмета. Для цилиндра и усеченного конуса строят второй овал и проводят касательные к овалам.

Куб и прямоугольный параллелепипед. При проецировании куб располагают так, чтобы его грани были параллельны плоскостям проекций. Тогда на параллельных плоскостях грани изобразятся в натуральную величину, т. е. квадратами, а на перпендикулярных плоскостях - прямыми линиями. Проекциями куба являются три равных квадрата (рис. 129, а).

Построение изометрической проекции куба показано на рис. 129, в.

Прямоугольный параллелепипед проецируется подобно кубу. На рис. 129, б приведены три его проекции - прямоугольники.

На чертеже куба и параллелепипеда проставляют три размера: длину, высоту и ширину.

На рис. 130, а приведено наглядное изображение детали, а на рис. 130, б дан ее чертеж. Деталь состоит из двух прямоугольных параллелепипедов, имеющих по две квадратные грани. Обратите внимание, как проставлены на чертеже размеры.

Применение условного знака □ позволило вычертить деталь в одной проекции. Тонкие пересекающиеся линии на чертеже означают, что отмеченные ими поверхности - плоские.

Правильные треугольная и шестиугольная призмы . Основания призм, параллельные горизонтальные плоскости проекций, изображаются на ней в натуральную величину, а на фронтальной и профильной плоскостях - в виде прямых линий. Боковые грани изображаются в натуральную величину на плоскостях проекций, которым они параллельны, и в виде линий на тех плоскостях, которым они перпендикулярны (рис. 131, а и б). Грани, наклонные к плоскостям проекций, изображаются искаженными.

Размеры призм определяются высотой и размерами фигуры основания. Штрихпунктирными линиями на чертежах проводят оси симметрии.

Построение изометрии призм (рис. 131, в и г) начинают с основания. Затем из каждой вершины основания восставляют перпендикуляры, откладывают на них высоту и проводят линии, параллельные ребрам основания.

Выполнение чертежей начинают также с горизонтальной проекции.

Правильная четырехугольная пирамида. Квадратное основание пирамиды проецируется на горизонтальную плоскость в натуральную величину. На проекции основания пирамиды диагоналями изображаются боковые ребра, идущие от вершин основания к вершине пирамиды (рис. 132, а). Фронтальная и профильная проекции пирамиды - равнобедренные треугольники.

Размеры пирамиды определяются длиной b двух сторон основания и высотой h.

Построение изометрической проекции пирамиды (рис. 132, б) начинают с основания. Затем из центра полученной фигуры восставляют перпендикуляр, откладывают на нем высоту и соединяют полученную точку с вершинами основания.

Шар. Все проекции шара (рис. 133) - круги, диаметр которых равен диаметру шара. На каждой проекции проводят центровые линии.

Тор. На рис. 134, а даны две проекции тора (кругового кольца). На фронтальной проекции в натуральную величину изображается окружность, в результате вращения которой образуется тор. Горизонтальная проекция представляет собой две концентрические окружности. Радиус внешней окружности больше радиуса внутренней на величину, равную диаметру образующей окружности.

Размеры тора определяются диаметром (или радиусом) образующей окружности и внутренним (или наружным) диаметром кольца. На всех проекциях проводят оси симметрии. Среди поверхностей детали, изображенной на рис. 134, б, есть две торовые поверхности. Радиус образующей окружности одного тора 16 мм, другого - 12 мм.

Ответьте на вопросы

1. В чем заключается анализ геометрической формы предметов? Каково его значение?

2. Что общего и в чем отличие между проекциями цилиндра и конуса?

3. Какую форму имеют проекции куба и прямоугольного параллелепипеда?

4. Что означают тонкие пересекающиеся линии на проекции предмета?

5. Какую форму имеют проекции правильной треугольной и шестиугольной призм, правильной четырехугольной пирамиды?

6. Сколькими и какими размерами определяется величина цилиндра, конуса, куба, параллелепипеда, правильных треугольной и шестиугольной призм, правильной четырехугольной пирамиды, шара, тора?

7. Для каких геометрических тел при наличии размеров можно ограничиться одной проекцией?

8. У каких геометрических тел все проекции одинаковы?

Задания к § 19

Упражнение 62

Запишите в рабочей тетради наименования и размеры геометрических тел, на которые можно расчленить формы деталей (рис. 135, а и б).

Упражнение 63

Вычертите по три проекции и выполните технические рисунки следующих геометрических тел: цилиндра, конуса, правильных треугольной и шестиугольной призм и пирамиды. При выполнении чертежей не забудьте провести осевые и центровые линии. Правильно нанести размеры, следуя примерам, данным на рис. 127, а и б; 131, а и б; 135, а. Величину деталей определите обмериванием изображений на этих рисунках. Чертежи выполните в масштабе 5: 1.

Для выполнения изометрической проекции любой детали не­обходимо знать правила построения изометрических проекций плоских и объемных геометрических фигур.

Правила построения изометрических проекций геометриче­ских фигур. Построение любой плоской фигуры следует начи­нать с проведения осей изометрических проекций.

При построении изометрической проекции квадрата (рис. 109) из точки О по аксонометрическим осям откладывают в обе сто­роны половину длины стороны квадрата. Через полученные за­сечки проводят прямые, параллельные осям.

При построении изометрической проекции треугольника (рис. 110) по оси X от точки 0 в обе стороны откладывают отрезки, равные половине стороны треугольника. По оси У от точки О откладывают высоту треугольника. Соединяют полученные за­сечки отрезками прямых.

Рис. 109. Прямоугольная и изометрические проекции квадрата

Рис. 110. Прямоугольная и изометрические проекции треугольника

При построении изометрической проекции шестиугольника (рис. 111) из точки О по одной из осей откладывают (в обе сторо­ны) радиус описанной окружности, а по другой - H/2. Через полученные засечки проводят прямые, параллельные одной из осей, и на них откладывают длину стороны шестиугольника. Со­единяют полученные засечки отрезками прямых.

Рис. 111. Прямоугольная и изометрические проекции шестиугольника

Рис. 112. Прямоугольная и изометрические проекции круга

При построении изометрической проекции круга (рис. 112) из точки О по осям координат откладывают отрезки, равные его радиусу. Через полученные засечки проводят прямые, парал­лельные осям, получая аксонометрическую проекцию квадрата. Из вершин 1, 3 проводят дуги CD и KL радиусом 3С. Соединяют точки 2 с 4, 3 с С и 3 с D. В пересечениях прямых получаются центры а и б малых дуг, проведя которые получают овал, заме­няющий аксонометрическую проекцию круга.

Используя описанные построения, можно выполнить аксоно­метрические проекции простых геометрических тел (табл. 10).

10. Изометрические проекции простых геометрических тел

Способы построения изометрической проекции детали:

1. Способ построения изометрической проекции детали от формообразующей грани используется для деталей, форма кото­рых имеет плоскую грань, называемую формообразующей; ши­рина (толщина) детали на всем протяжении одинакова, на боко­вых поверхностях отсутствуют пазы, отверстия и другие элемен­ты. Последовательность построения изометрической проекции заключается в следующем:

1) построение осей изометрической проекции;

2) построение изометрической проекции формообразующей грани;

3) построение проекций остальных граней посредством изо­бражения ребер модели;

Рис. 113. Построение изометрической проекции детали, начиная от фор­мообразующей грани

4) обводка изометрической проекции (рис. 113).

1. Способ построения изометрической проекции на основе по­следовательного удаления объемов используется в тех случаях, когда отображаемая форма получена в результате удаления из исходной формы каких-либо объемов (рис. 114).
2. Способ построения изометрической проекции на основе по­следовательного приращения (добавления) объемов применяется для выполнения изометрического изображения детали, форма которой получена из нескольких объемов, соединенных опреде­ленным образом друг с другом (рис. 115).
3. Комбинированный способ построения изометрической про­екции. Изометрическую проекцию детали, форма которой полу­чена в результате сочетания различных способов формообразо­вания, выполняют, используя комбинированный способ построе­ния (рис. 116).

Аксонометрическую проекцию детали можно выполнять с изображением (рис. 117, а) и без изображения (рис. 117, б) неви­димых частей формы.

Рис. 114. Построение изометрической проекции детали на основе последовательного удаления объемов

Рис. 115 Построение изометрической проекции детали на основе последовательного приращения объемов

Рис. 116. Использование комбинированного способа построения изометрической проекции детали

Рис. 117. Варианты изображения изометрических проекций детали: а - с изображением невидимых частей;
б - без изображения невидимых частей

Итак, вы уже знаете, что форма большинства предметов представляет собой сочетание различных геометрических тел или их частей. Следовательно, для чтения и выполнения чертежей нужно знать, как изображаются геометрические тела.

11.1. Проецирование куба и прямоугольного параллелепипеда . Куб располагают так, чтобы его грани были параллельны плоскостям проекций. Тогда они изобразятся на параллельных им плоскостях проекций в натуральную величину - квадратами, а на перпендикулярных плоскостях отрезками прямых (рис. 76).

Рис. 76. Куб и параллелепипед: а - проецирование: б, г - чертежи в системе прямоугольных проекций: в, д - изометрические проекции

Проекциями куба являются три равных квадрата.

На чертеже куба и параллелепипеда указывают три размера: длину, высоту и ширину.

На рисунке 77 деталь образована двумя прямоугольными параллелепипедами, имеющими по две квадратные грани. Обратите внимание, как нанесены на чертеже размеры. Плоские поверхности отмечены тонкими пересекающимися линиями.

Рис. 77. Изображение детали в одном виде

Благодаря условному знаку форма детали ясна и по одному виду.

11.2. Проецирование правильных треугольной и шестиугольной призм . Основания призм, параллельные горизонтальной плоскости проекций, изображаются на ней в натуральную величину, а на фронтальной и профильной плоскостях -- отрезками прямых. Боковые грани изображаются без искажения на тех плоскостях проекций, которым они параллельны, и в виде отрезков прямых на тех, которым они перпендикулярны (рис. 78). Грани. наклоненные к плоскостям проекций, изображаются на них искаженными.

Рис 78. Призмы: а. г - проецирование; б, д - чертежи в системе прямоугольных проекции: в, с - изометрические проекции

Размеры призм определяются их высотой и размерами фигуры основания. Штрихпунктирнымн линиями на чертеже проведены оси симметрии.

Строить изометрические проекции призмы начинают с основания. Затем из каждой вершины основания проводят перпендикуляры, на которых откладывают отрезки, равные высоте, и через полученные точки проводят прямые, параллельные ребрам основания.

Чертеж в системе прямоугольных проекций также начинают выполнять с горизонтальной проекции.

11.3. Проецирование правильной четырехугольной пирамиды . Квадратное основание пирамиды проецируется на горизонтальную плоскость Н в натуральную величину. На нем диагоналями изображаются боковые ребра, идущие от вершин основания к вершине пирамиды (рис. 79).

Рис. 79. Пирамида: проецирование: б чертеж в системе прямоугольных проекций; в изометрический проекции

Фронтальная и профильная проекции пирамиды - равнобедренные треугольники.

Размеры пирамиды определяются длиной b двух сторон ее основания и высотой h.

Изометрическую проекцию пирамиды начинают строить с основания. Из центра полученной фигуры проводят перпендикуляр, откладывают на нем высоту пирамиды и соединяют полученную точку с вершинами основания.

11.4. Проецирование цилиндра и конуса . Если круги, лежащие и основаниях цилиндра и конуса, расположены параллельно горизонтальной плоскости H, их проекции на эту плоскость будут также кругами (рис. 80, б и д).

Рис. 80. Цилиндр и конус: а, г - проецирование; б, д чертежи в системе прямоугольных проекций; в. е - изометрические проекции

Фронтальная и профильная проекции цилиндра в этом случае прямоугольники, а конуса - равнобедренные треугольники.

Заметьте, что на всех проекциях следует наносить оси симметрии, с проведения которых и начинают выполнение чертежей цилиндра и конуса.

Фронтальная и профильная проекции цилиндра одинаковы. То же можно сказать о проекциях конуса. Поэтому в данном случае профильные проекции на чертеже лишние. Кроме того, благодаря значку "диаметр" можно представить форму цилиндра по одной проекции (рис. 81). Отсюда следует, что в подобных случаях нет необходимости в трех проекциях.

Рис. 81. Изображение цилиндра в одном виде

Размеры цилиндра и конуса определяются их высотой h и диаметром основания d. Способы построения изометрической проекции цилиндра и конуса одинаковы. Для этого проводят оси х и у, на которых строят ромб. Стороны его равны диаметру основания цилиндра или конуса. В ромб вписывают овал (см. рис. 66).

11.5. Проекции шара . Все проекции шара - круги, диаметр которых равен диаметру шара (рис. 82). На каждой проекции проводят центровые линии.

Рис. 82. Проекции шара

Благодаря знаку "диаметр" шар можно изображать в одной проекции. Но если по чертежу трудно отличить сферу от других поверхностей, добавляют слово «сфера», например: «Сфера диаметром 45».

11.6. Проекции группы геометрических тел . На рисунке 83 даны проекции группы геометрических тел. Можете ли вы сказать, сколько геометрических тел входит в эту группу? Какие это тела?

Рис. 83. Чертеж группы геометрических тел

Рассмотрев изображения, можно установить, что на нем даны конус, цилиндр и прямоугольный параллелепипед. Они различно расположены относительно плоскостей проекций и друг друга. Как именно?

Ось конуса перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, а ось цилиндра - профильной плоскости проекций. Две грани параллелепипеда параллельны горизонтальной плоскости проекций. На профильной проекции изображение цилиндра находится справа от изображения параллелепипеда, а на горизонтальной - ниже. Это значит, что цилиндр расположен впереди параллелепипеда, поэтому часть параллелепипеда на фронтальной проекции показана штриховой линией. По горизонтальной и профильной проекциям можно установить, что цилиндр касается параллелепипеда.

Фронтальная проекция конуса касается проекции параллелепипеда. Однако, судя по горизонтальной проекции, параллелепипед не касается конуса. Конус расположен левее цилиндра и параллелепипеда. На профильной проекции он частично их закрывает. Поэтому невидимые участки цилиндра и параллелепипеда показаны штриховыми линиями.

Как изменится профильная проекция на рисунке 83, если из группы геометрических тел удалить конус?

Занимательные задачи

Прежде чем приступить к построению проекций геометрических тел, ознакомимся со способами нахождения проекций точек, расположен­ных на поверхностях мно­гогранников и тел враще­ния.

Нахождение проекций отдельных точек, располо­женных на поверхности тел, рассмотрим на трёх про­стейших геометрических формах: пирамиде, конусе и шаре. Нахождение гори­зонтальных проекций точек при заданных вертикальных их проекциях рассмотрим одновременно для пирамиды и конуса.

Пусть пирамида и ко­нус (фиг. 119, а, б) даны двумя своими проекциями, а точки А и В, лежащие на поверхностях этих тел, за­даны своими вертикальными проекциями а" и b". Требу­ется найти горизонтальные и профильные проекции этих точек.

Такие задачи можно ре­шать следующим способом: на поверхности тел через заданную точку и вершину фигуры проводится прямая линия и затем строятся про­екции этой прямой. Искомая горизонтальная проекция точки будет лежать на го­ризонтальной проекции пря­мой. На фиг. 119, а и 119, б через точку b" проведена вертикальная проекция s"k" вспомогательной прямой ли­нии SK. Как видно, верти­кальной проекции s"k" со­ответствует горизонтальная проекция sk, что позволяет построить горизонтальную проекцию точки В. После этого легко построить профильную проекцию точки b"".

Чтобы построить горизонтальную проекцию точки А для пирамиды, нет необходимости строить вспомогательную прямую, так как точка А по заданию лежит на ребре S2. При наличии профильной проекции пирамиды легко построить профильную проекцию а" точки А на про­фильной проекции ребра S2 и по ней построить горизонтальную проек­цию а. Если профильной проекции на чертеже нет, надо использовать следующее основное положение начертательной геометрии: если точка а"

делит отрезок s"2" в отношении s"a"/a"2"=m/n, то и на горизонтальнои проекции будет sa/a2=m/n. Вычислив по вертикальной проекции отношение ™, можно легко найти горизонтальную проекцию точки А на S2.

Эта задача может быть решена способом секущих плоскостей, являю­щимся общим для любой пространственной формы. Если провести через вертикальную проекцию точки А секущую горизонтальную плоскость P, то она пересечёт пирамиду по треугольнику, подобному треуголь­нику основания (фиг. 119, а), a ко­нус или шар (фиг. 119, б и 120) - по кругу. В этом случае треуголь­ник и круг сечения проектируются на горизонтальную плоскость в на­туральную величину. Горизонтальные проекции точки A расположены одновременно на перпендикулярах к оси ОХ, опущенных из соответ­ственных вертикальных проекций точки A.

При выполнении упражнений по проекционному черчению при­ходится довольно часто решать за­дачи на построение линий пересе­чения друг с другом двух поверх­ностей. Для выполнения этих по­строений необходимо уметь нахо­дить точки входа и выхода прямых, пересекающих заданные поверх­ности. Рассмотрим это построение на примерах.

Пусть даны проекции пирамиды, конуса, шара и прямые EF и MN, пересекающие эти тела. Прямая EF перпендикулярна к плоскости V, а прямая MN-к плоскости W (фиг. 121, а, б, в). Требуется построить точки входа и выхода прямых, пересекающихся с заданными поверх­ностями.

Проводим через прямые EF и MN горизонтальные секущие плос­кости: через прямую EF-плоскость P, а через прямую MN-плоскость Q. Эти плоскости образуют на горизонтальной плоскости проекций пира­миды и конуса в сечении фигуры, подобные их основанию, а для шара- круг. Точки пересечения прямых с контурами сечения и будут искомымй точками входа и выхода: для прямой EF-точки А и С, а для прямой MN-точки К и L.

Если прямая пересекает поверхность шара, пирамиды или конуса перпендикулярно к плоскостй Н, то в этом случае проводят через за­данную прямую фронтальную плоскость. С целью упрощения построений для пирамиды и конуса полъзуются горизонтально-проектирующей плоскостью, которая должна непременно проходить через вершину фигуры.

Построив затем на вертикальной плоскости проекций, соответственно секущей плоскости, контуры сечения, находят точки входа и выхода.

Примеры решения задач на построение проекций фигур

Пример 1 . На фиг. 122 даны три про­екции пятиугольной усечённой пирамиды с открытым вырезом, образованным несколь­кими секущими плоскостями. Сечением этих плоскостей образовано на поверхности пира­миды ряд характерных точек: С, D, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, В и А, которые на вертикаль­ной плоскости проекций отмечены соответ­ственно: c", d", 1", 2", 3", 4", 5", 6", 7", 8", b" и a". Требуется построить горизонтальные и профильные проекции этих точек.

Проекции точек А, В, С и D могут быть легко определены, так как они рас­положены на рёбрах пирамиды. Определим, для примера, горизонтальную проекцию точ­ки С, лежащую на ребре MN. Для этого проведём из точки с" проектирующую линию до пересечения с горизонтальной проекцией ребра MN и определим таким образом гори­зонтальную проекцию с точки С. Имея вер­тикальную и горизонтальную проекции этой точки, можно построить и профильную про­екцию с". По аналогии с этим, строим про­екции точек А, В и D. Проекции остальных точек 7, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 строим спосо­бом секущих плоскостей.

Чтобы построить горизонтальную про­екцию, например точки 7, проводим через неё секущую плоскость P, которая пересечёт пирамиду по пятиугольнику, подобному её основанию. Чтобы не затемнять чертежа по­строением пятиугольника, ограничимся одной из его сторон, проектирующейся на грань KETP. Пересечение контура сечения с го­ризонтальной проекцией ребра KP даст гори­зонтальную проекцию точки 1. Горизонталь­ные проекции точек 2, 3 определяются по аналогии, т. е. проведением через 2" и 3" плоскости R. Подобным образом произво­дится построение остальных точек. Имея го­ризонтальные и вертикальные проекции всех точек, нетрудно построить их профильные проекции. Законченное построение пирамиды приведено на фиг. 123. К изображениям в ортогональных проекциях добавлена аксонометрическая проекция этой пирамиды.

Пример 2. Построение в усечённом конусе вырезов,образованных четырьмя плоскостями, пересекающими поверхность конуса по основным кривым: окружности, эллипсу, параболе и гиперболе, приведено на фиг. 124. Горизонтальные проекции точек А и 1, лежащих на верти­кальной проекции линии контура конуса, легко определить без допол­нительных построений. Проекции остальных точек найдены проведением горизонтальных секущих плоскостей, обозначенных следами Pv,Rv и т. д.

Определив горизонтальные проекции точек, нетрудно построить их профильные проекции. Последовательное соединение проекций точек кривых сечения показано на фиг. 125. Там же даны размеры конуса. Рядом с ортогональными проекциями показан тот же конус в диметрической проекции.