Općenito razumijevanje oduzimanja prirodnih brojeva. Općenito razumijevanje oduzimanja prirodnih brojeva Složeniji primjeri

U ovom članku ćemo govoriti o akciji tzv oduzimanjem. Prvo ćemo dati opću ideju oduzimanja, nakon čega ćemo, na temelju značenja oduzimanja, dati značenje oduzimanje prirodnih brojeva. Zatim uvodimo terminologiju i notaciju. Zaključno, razmotrit ćemo niz problema koji se rješavaju oduzimanjem.

Navigacija po stranici.

Oduzimanje je opća ideja ove akcije.

Oduzimanje je inverzna operacija zbrajanja (pogledajte odjeljak o zbrajanju - opća ideja o ovoj radnji). Ako je zbrajanje povezano s kombiniranjem dva skupa u jedan, onda je oduzimanje povezano s razdvajanjem danog skupa na dva skupa.

Dodajmo specifičnosti.

Neka imamo određeni skup objekata. Uzmimo jedan ili više predmeta iz ovog seta i ostavimo ih sa strane. Istovremeno, možemo reći da mi oduzeta ili oduzeto nekoliko predmeta iz prvobitno zadanog skupa. Odnosno, značenje oduzimanja je isključivanje određenog skupa objekata iz danog skupa objekata.

Značenje oduzimanja prirodnih brojeva.

Znamo da je smisao zbrajanja prirodnih brojeva, koji odgovaraju količinama dodanih predmeta, dobiti informaciju o ukupnom broju predmeta. Koje je značenje oduzimanja dva prirodna broja?

Oduzimanje dvaju prirodnih brojeva može se promatrati s dva jednaka položaja. U tom će slučaju značenje oduzimanja dva prirodna broja ovisiti o tome koje značenje se daje broju koji se oduzima.

Dakle, rezultat oduzimanja dva prirodna broja pokazuje

ili broj objekata koji će ostati ako se određeni broj objekata ukloni iz danog skupa istih,
ili broj objekata koje je potrebno ukloniti iz danog skupa istih tako da potreban broj objekata ostane.

Navedimo primjer za prvi slučaj. Uzmimo 7 jabuka. Oduzimanje nam omogućuje da saznamo koliko će nam jabuka ostati nakon što nekome damo npr. 2 jabuke. U ovom slučaju od 7 jabuka oduzimamo (poklanjamo) 2 jabuke.

Ilustrirajmo drugi slučaj. Recimo da imamo 7 jabuka. Oduzimanjem možemo saznati koliko jabuka trebamo pokloniti da nam ostanu npr. 3 jabuke. U ovom slučaju razlika 7−3 će nam reći potreban broj jabuka koje treba dati.

U razmatranom smislu, oduzimanje prirodnih brojeva moguće je samo kada je broj od kojeg se oduzima veći ili jednak broju koji se oduzima (ne možemo dati više jabuka od onoga što imamo). Ovog ćemo se ograničenja strogo pridržavati u daljnjem proučavanju oduzimanja prirodnih brojeva.

Jasno je da je rezultat oduzimanja dva prirodna broja prirodan broj ili nula (ne zaboravite da nula znači nepostojanje nečega). Štoviše, nula se dobiva tek kada je prirodni broj od kojeg se oduzima jednak broju koji se oduzima (ako damo sve predmete koje imamo, tada nam neće ostati niti jedan predmet).

Umanjilac, umanjenik, razlika, znak minus “−”.

Definirajmo terminologiju i oznake.

Za pismeno označavanje oduzimanja koristit ćemo znak minus upišite "−". Prvo ćemo napisati prirodni broj od kojeg oduzimamo, zatim – znak minus, zatim – prirodni broj od kojeg oduzimamo. Na primjer, zapis 9−5 (slični zapisi se nazivaju) znači da se 5 oduzima od 9.

Sada uvedimo potrebne pojmove. Minuend je broj od kojeg se oduzima. Subtrahend je broj koji se oduzima od umanjenika. Razlika je broj koji je rezultat oduzimanja.

Brojevne izraze sastavljene od umanjenika i oduzetika s znakom minus između njih također ćemo nazivati razlikama. Na primjer, u razlici 3−1 prirodni broj 3 je umanjenik, a broj 1 je umanjenik.

fraze " pronaći razliku», « izračunajte razliku», « od prirodnog broja 36 oduzmite broj 3" i tako dalje. Shvatimo to ovako: trebamo odrediti broj koji je rezultat oduzimanja tih prirodnih brojeva.

Razmotrimo još jednu točku u vezi s pisanjem umanjenika, oduzetika i rezultata oduzimanja u obliku jednakosti. Recimo da smo saznali da je prirodni broj 11 rezultat oduzimanja broja 24 od broja 35. Zatim ćemo taj rezultat napisati kao jednakost 35−24=11 (o znaku jednakosti govorili smo u odjeljku jednaki prirodni brojevi). Ovaj unos se može pročitati na jedan od sljedećih načina: "od 35 oduzmi 24 jednako je 11" ili "oduzmi 24 od 35 jednako je 11".

Dakle, shematski, oduzimanje dva prirodna broja izgleda ovako:
minuend − subtrahend = razlika.

Osnovni zadaci riješeni oduzimanjem.

Prvo, oduzimanje vam omogućuje rješavanje problema povezanih s količinama predmeta prije i nakon što su podijeljeni u dva skupa.

Već smo pogledali primjer zadatka pronalaženja broja predmeta koji preostane nakon uklanjanja određenog broja iz izvornog skupa kada smo govorili o značenju oduzimanja prirodnih brojeva.

Ostali zadaci ovog tipa su problemi pronalaženja broja objekata koje treba ukloniti iz danog skupa tako da ostane potreban broj objekata.

Navedimo primjer takvog zadatka. Uzmimo 8 jabuka. Koliko jabuka trebamo pokloniti da nam ostane 6 jabuka? Tražena količina jednaka je razlici prirodnih brojeva 8 i 6.

Drugo, oduzimanje vam omogućuje rješavanje problema povezanih s promjenom vrijednosti bilo kojeg mjerenja (dužine, površine, volumena, brzine, mase, vremena itd.).

Navedimo primjer. Komad površine 5 četvornih metara izrezan je iz komada tkanine površine 9 četvornih metara. Razlika između prirodnih brojeva 9 i 5 pokazuje koliko je tkanine ostalo. Evo još jedan primjer. Sada je temperatura zraka 15 Celzijevih stupnjeva, a prije sat vremena bila je 21 stupanj. Ako od broja 21 oduzmemo 15, saznat ćemo za koliko se stupnjeva temperatura promijenila u proteklih sat vremena.

Treće, oduzimanje vam omogućuje da saznate razliku između količina objekata u dva skupa, kao i razliku između dva mjerenja bilo koje količine (mase, vremena, volumena itd.).

Neka, na primjer, prvi motociklist prijeđe 100 kilometara, a drugi – 80. Ako od broja 100 oduzmemo broj 80, saznat ćemo koliko se kilometara razlikuju putevi motociklista. Još jedan primjer. U prvi ribnjak pušteno je 3.500, au drugi 7.500 mlađi. Oduzimanjem broja 3 500 od broja 7 500 saznajemo kolika je razlika u broju riba puštenih u te ribnjake.

Bibliografija.

Matematika. Bilo koji udžbenici za 1., 2., 3., 4. razrede općeobrazovnih ustanova.
Matematika. Bilo koji udžbenik za 5. razred općeobrazovnih ustanova.

Riječ "razlika" može imati mnogo značenja. To također može značiti razliku u nečemu, na primjer, mišljenja, pogledi, interesi. U nekim znanstvenim, medicinskim i drugim stručnim područjima pod tim pojmom podrazumijevaju se različiti pokazatelji, primjerice razina šećera u krvi, atmosferski tlak i vremenske prilike. Koncept "razlike" kao matematički pojam također postoji.

U kontaktu s

Kolege

Aritmetičke operacije s brojevima

Glavne aritmetičke operacije u matematici su:

dodatak;
oduzimanje;
množenje;
podjela.

Svaki rezultat ovih radnji također ima svoje ime:

zbroj - rezultat dobiven zbrajanjem brojeva;
razlika - rezultat dobiven oduzimanjem brojeva;
umnožak je rezultat množenja brojeva;
kvocijent je rezultat dijeljenja.

Da bismo jednostavnijim jezikom objasnili koncepte zbroja, razlike, umnoška i kvocijenta u matematici, možemo ih jednostavno zapisati samo kao fraze:

iznos - dodati;
razlika - oduzimanje;
produkt - umnožiti;
privatno – podijeliti.

Gledajući definicije, koja je razlika između brojeva u matematici, ovaj koncept se može definirati na nekoliko načina:

I sve su te definicije istinite.

Kako pronaći razliku između količina

Uzmimo kao osnovu oznaku razlike koju nam nudi školski kurikulum:

Razlika je rezultat oduzimanja jednog broja od drugog. Prvi od ovih brojeva, od kojeg se vrši oduzimanje, zove se umanjenik, a drugi, koji se oduzima od prvog, zove se oduzimač.

Još jednom pribjegavajući školskom kurikulumu, nalazimo pravilo kako pronaći razliku:

Da biste pronašli razliku, morate od umanjenika oduzeti umanjenik.

Sve jasno. Ali u isto vrijeme dobili smo još nekoliko matematičkih pojmova. Što one znače?

Minuend je matematički broj od kojeg se oduzima i smanjuje (postaje manji).
Odmanjenik je matematički broj koji se oduzima od umanjenika.

Sada je jasno da se razlika sastoji od dva broja koja se moraju znati da bi se ona izračunala. A kako ih pronaći, također ćemo koristiti definicije:

Da biste pronašli umanjenik, trebate dodati razliku umanjeniku.
Da biste pronašli umanjenik, trebate oduzeti razliku od umanjenika.

Matematičke operacije s razlikama brojeva

Na temelju izvedenih pravila možemo razmotriti ilustrativne primjere. Matematika je zanimljiva znanost. Ovdje ćemo za rješavanje uzeti samo najjednostavnije brojeve. Nakon što ih naučite oduzimati, naučit ćete rješavati složenije vrijednosti, troznamenkaste, četveroznamenkaste, cijeli broj, razlomak, potencije, korijene itd.

Jednostavni primjeri

Primjer 1. Nađi razliku dviju veličina.

20 - opadajuća vrijednost,

15 - oduzima se.

Rješenje: 20 - 15 = 5

Odgovor: 5 - razlika u vrijednostima.

Primjer 2. Pronađite umanjenik.

48 - razlika,

32 je oduzeta vrijednost.

Rješenje: 32 + 48 = 80

Primjer 3. Pronađite vrijednost oduzetog.

7 - razlika,

17 je vrijednost koja se smanjuje.

Rješenje: 17 - 7 = 10

Odgovor: Oduzmi vrijednost 10.

Složeniji primjeri

Primjeri 1-3 ispituju akcije s jednostavnim cijelim brojevima. Ali u matematici se razlika izračunava pomoću ne samo dva, već i nekoliko brojeva, kao i cijelih brojeva, razlomaka, racionalnih, iracionalnih itd.

Primjer 4. Nađi razliku između tri vrijednosti.

Date su cjelobrojne vrijednosti: 56, 12, 4.

56 - vrijednost koju treba smanjiti,

12 i 4 su oduzete vrijednosti.

Rješenje se može izvesti na dva načina.

Metoda 1 (sekvencijalno oduzimanje oduzetih vrijednosti):

1) 56 - 12 = 44 (ovdje je 44 rezultirajuća razlika prve dvije količine, koja će se u drugoj akciji smanjiti);

Metoda 2 (oduzimanje dva subtrahenda od zbroja koji se smanjuje, koji se u ovom slučaju nazivaju pribrojnici):

1) 12 + 4 = 16 (gdje je 16 zbroj dvaju članova, koji će biti oduzeti u sljedećoj operaciji);

2) 56 - 16 = 40.

Odgovor: 40 je razlika triju vrijednosti.

Primjer 5. Odredite razliku racionalnih razlomaka.

Zadani su razlomci s istim nazivnicima, gdje

4/5 je razlomak koji treba smanjiti,

3/5 - odbitak.

Za dovršetak rješenja potrebno je ponoviti radnje s razlomcima. Odnosno, morate znati kako oduzeti razlomke s istim nazivnikom. Kako postupati s razlomcima koji imaju različite nazivnike. Moraju ih moći dovesti pod zajednički nazivnik.

Rješenje: 4/5 - 3/5 = (4 - 3)/5 = 1/5

Odgovor: 1/5.

Primjer 6. Utrostručiti razliku brojeva.

Kako izvesti takav primjer kada trebate udvostručiti ili utrostručiti razliku?

Poslužimo se ponovno pravilima:

Dupli broj je vrijednost pomnožena s dva.
Trostruki broj je vrijednost pomnožena s tri.
Dvostruka razlika je razlika u veličinama pomnožena s dva.
Trostruka razlika je razlika u veličini pomnožena s tri.

7 - smanjena vrijednost,

5 - oduzeta vrijednost.

2) 2 * 3 = 6. Odgovor: 6 je razlika između brojeva 7 i 5.

Primjer 7. Pronađite razliku između vrijednosti 7 i 18.

7 - smanjena vrijednost;

18 - oduzeto.

Čini se da je sve jasno. Stop! Je li subtrahend veći od minuenda?

I opet postoji pravilo koje vrijedi za konkretan slučaj:

Ako je subtrahend veći od umanjenika, razlika će biti negativna.

Odgovor: - 11. Ova negativna vrijednost je razlika između dvije količine, pod uvjetom da je količina koja se oduzima veća od količine koja se smanjuje.

Matematika za plavuše

Na World Wide Webu možete pronaći puno tematskih stranica koje će odgovoriti na bilo koje pitanje. Na isti način, online kalkulatori za svačiji ukus pomoći će vam u svim matematičkim izračunima. Svi proračuni napravljeni na njima izvrsna su pomoć za brzoplete, neradoznale i lijene. Matematika za plavuše jedan je od takvih izvora. Štoviše, svi mu pribjegavamo, bez obzira na boju kose, spol i dob.

U školi su nas učili računati takve operacije s matematičkim veličinama u stupcu, a kasnije - na kalkulatoru. Kalkulator je također zgodna pomoć. No, za razvoj mišljenja, inteligencije, pogleda i drugih životnih kvaliteta, savjetujemo vam da izvodite aritmetičke operacije na papiru ili čak u svom umu. Ljepota ljudskog tijela veliko je dostignuće modernog fitness plana. Ali mozak je također mišić koji ponekad zahtijeva pumpanje. Stoga, bez odlaganja, počnite razmišljati.

I iako se na početku vašeg puta proračuni svode na primitivne primjere, sve je pred vama. A morat ćete svladati mnogo toga. Vidimo da u matematici postoji mnogo operacija s različitim veličinama. Stoga, osim razlike, potrebno je proučiti kako izračunati preostale rezultate aritmetičkih operacija:

zbroj - zbrajanjem članova;
proizvod - množenjem faktora;
kvocijent – dijeljenjem dividende djeliteljem.

Ovo je zanimljiva aritmetika.

Oduzimanje znači oduzimanje jednog broja od drugog.

Oduzimanje je radnja u kojoj se manjem broju oduzima veći broj. Pri oduzimanju cijelih brojeva veći se broj smanjuje za onoliko jedinica koliko manji broj sadrži. Oduzimanje jednog broja od drugog znači smanjiti jedan broj drugom, pa je oduzimanje inverzno djelovanje zbrajanja.

Kod oduzimanja nazivaju se dva zadana broja umanjiva i oduzimajuća , i potrebno - razlika .

Minuend je veći broj od kojeg se oduzima neki drugi. Smanjuje se oduzimanjem.

Subtrahend je manji broj koji se oduzima od većeg.

Razlika je rezultat dobiven oduzimanjem. Razlika određuje zašto je jedan broj veći od drugog ili pokazuje razliku između dva broja.

Znak za oduzimanje. Radnja oduzimanja je označena znakom - (minus).

Oduzimanje jednoznamenkastih brojeva

Da biste označili da se 6 mora oduzeti od 9, napišite ove brojeve jedan pored drugog, odvajajući ih znakom - (minus):

Razlika između ovih brojeva bit će 3, a napredak izračuna izražava se usmeno:

devet minus šest jednako je tri.

U pisanom obliku:

Veći broj 9 bit će umanjenik, manji broj 6 bit će subtrahend, a broj 3 bit će ostatak.

Metode oduzimanja

Postoje dva načina za oduzimanje jednog broja od drugog:

ili možete od većeg broja oduzeti onoliko jedinica koliko ih sadrži manji broj. Dakle, oduzimanje 6 od 9 znači oduzimanje 6 od 9. Broj 3 će biti traženi ostatak;

ili možete dodati jedan manjem broju dok ne dobijete veći broj. Dakle, oduzimajući 6 od 9, dodajemo 3 jedinice na 6. Broj jedinica koje se moraju dodati manjem broju da bi bio jednak većem broju određuje razliku. Manji broj s razlikom mora biti jednak većem broju, dakle, manji broj i razlika su članovi, a veći je njihov zbroj. Na temelju ovoga druga definicija oduzimanja:

Oduzimanje je radnja u kojoj se za zadani zbroj i jedan član nalazi drugi član.

U ovom slučaju ovaj zbroj je minuend, ovaj izraz je subtrahend, a potraživanjei ja razlika- drugi termin.

Oduzimanje višeznamenkastih brojeva

Oduzimanje višeznamenkastih brojeva temelji se na svojstvu brojeva kojim oduzimanje broja je isto što i oduzimanje svih njegovih dijelova. Iz ovog svojstva jasno je da je oduzimanje broja isto što i uzastopno oduzimanje svih njegovih jedinica, desetica, stotina itd. Da biste označili da od broja 7228 trebate oduzeti 3517, napišite:

i odvojeno oduzimati jedinice od jedinica, desetice od desetica itd.

Radi lakšeg oduzimanja potpišite manji broj ispod većeg tako da jedinice istog reda budu u istom okomitom stupcu, povucite crtu, lijevo stavite znak za oduzimanje - a ispod crte potpišite razliku.

Tijek izračuna izražava se usmeno:

Počnimo oduzimanje s jednostavnim jedinicama: 8 bez 7 je 1; potpišite se pod jedinice 1.

Oduzmi desetice: 2 bez 1 daje 1, potpišite se ispod desetice 1.

Oduzmi stotine. Pet se ne može oduzeti od 2, pa uzimamo jedan iz sljedećeg najvišeg reda (tisućice), što označavamo stavljanjem točke iznad 7. Jedinica svakog reda sadrži 10 jedinica sljedećeg nižeg reda. Dodavanjem ovih 10 jedinica na 2, dobivamo 12; 12 bez 5 čini 7, 7 potpisujemo ispod stotina. Kada posuđuju nešto od višeg reda, to označavaju stavljanjem točke iznad reda iz kojeg posuđuju.

Oduzmimo tisuće. Umjesto 7 tisuća, ostalo je samo 6 tisuća, jer je jedan uzet. 6 bez 3 čini 3; znak pod 3 tisuće kuna.

Tijek izračuna izražava se u pisanom obliku:

Primjer. Oduzmite 6025 od 17004.

Ne možete oduzeti 5 od 4. Posuđujemo jedan od desetica, sljedeći najviši red, ali u ovom redu nema jedinica; posuđujemo od stotica, a stotica nema; posuđujemo od tisuća i to označavamo točkom iznad broja 7.

Jedinica četvrtog reda ima 10 jedinica trećeg reda. Uzimajući jedan od njih za desetice, ostavljamo ih u stotinama kao samo 9. Dodavanjem 10 na 4, imamo 14.

Oduzimanjem dobivamo:

za jedinice 14 - 5 = 9

za desetice 9 - 2 = 7

za stotine 9 - 0 = 9

za tisućice 6 - 6 = 0

Za desetke tisuća imamo 1, jer se ovaj broj umanjenika prenosi na razliku bez promjene.

Tijek izračuna bit će izražen u pisanom obliku:

Iz prethodnih primjera zaključujemo pravila oduzimanja:

Da biste oduzeli cijele brojeve, trebate potpisati subtrahend ispod umanjenika tako da jedinice istog reda budu u istom okomitom stupcu, povucite crtu ispod koje potpisujete razliku.

Oduzimanje treba započeti jednostavnim jedinicama, to jest od prvog stupca, a zatim, prelazeći na sljedeće stupce s desne na lijevu ruku, oduzimati desetice od desetica, stotine od stotina itd.

Ako je broj oduzetih manji od broja smanjenih, razlika se potpisuje u istom stupcu; ako su brojevi jednaki, razlika će biti nula. Ako je znamenka oduzetog veća od odgovarajuće znamenke umanjenika, uzimaju jednu iz sljedećeg reda umanjenika, označavaju to točkom iznad znamenke od koje posuđuju, primjenjuju 10 na znamenku umanjenika i izvršiti oduzimanje. Broj s točkom broji se za jedan manje.

Ako je tijekom oduzimanja znamenka umanjenika iz koje se posuđuje 0, nakon čega slijede nule u umanjeniku, tada se posuđuje od prve značajne znamenke, stavljajući točke iznad nje i svih međunula. Znamenka s točkom se računa kao jedan manje, a nule s točkom se računaju kao 9.

Oduzimanje se nastavlja dok se ne dobije puna razlika.

Dodatne znamenke umanjenika prenose se u razliku.

Odnos između podataka i traženog oduzimanja

Iz primjera 9 - 6 = 3 jasno je da

Minuend je jednak subtrahendu dodanom s razlikom: 9 = 6 + 3.

Subtrahend je jednak umanjeniku bez razlike: 6 = 9 - 3.

Razlika je jednaka umanjeniku bez umanjenika: 3 = 9 - 6.

Aritmetičko zbrajanje. Razlika između broja i najbliže više jedinice naziva se aritmetički komplement. Dakle, aritmetički komplementi brojeva 7, 79, 983 su sljedeći brojevi:

10 - 7 = 3
100 - 79 = 21
1000 - 983 = 17

Aritmetički komplement ponekad se koristi za lakše aritmetičke izračune.

ODUZETI

1. Oduzeti (jedan broj od drugog), oduzeti (mat.). Oduzmite jedan broj od drugog.

2. Zadržite određeni iznos od novca dospjelog za isplatu. Oduzmite jedan posto od svoje plaće.

Ušakovljev objašnjavajući rječnik. D.N. Ushakov. 1935-1940.

Pogledajte što je "ODUZIMANJE" u drugim rječnicima:

Oduzmi, izračunaj, zadrži, oduzmi Rječnik ruskih sinonima. oduzeti 1. napraviti oduzimanje; oduzeti (kolokvijalno) 2. vidi izračunati Rječnik sinonima ruskog jezika. Praktični vodič. M... Rječnik sinonima

ODUZIMANJE, čast, čast; osoba, član; načitan; počast; apsolutno, što od čega. 1. Zadržati prilikom plaćanja. B. dug. 2. Oduzmite jedan broj od drugog. B. tri od pet. | nesavršena oduzmi, da, da. | imenica odbitak, ah, muž. (na 1 vrijednost).… … Ozhegovov objašnjavajući rječnik

oduzeti- (oduzeti, oduzeti) achori; oduzmi dva od pet toyɈgala duerbe achori... Rusko-nanajski rječnik

Subtract, subtract, subtract, subtract, subtract, subtract, subtract, subtract, subtract, subtract, subtract, subtract, subtract, subtract, subtracted, subtracted, subtracted, subtracted, subtracted, subtracted, subtracted, subtracted, subtracted, subtracted, subtracted, oduzeto,... ... Oblici riječi

oduzeti- oduzeti, oduzeti, oduzeti; prošlost vr. u odbitku, u odbitku... Ruski pravopisni rječnik

Čitaj, čitaj; oduzeto, chla, chlo; oduzeto; oduzeto; deset, a, o; oduzimanje; Sv. što od čega. 1. Oduzmite jedan broj od drugog. B. sedam od deset. 2. Zadržati dio novca namijenjen izdavanju. B. od naknade. ◁ Oduzmi, da, da; nsv... enciklopedijski rječnik

oduzeti- Povećati smanjiti… Rječnik ruskih sinonima

oduzeti- oduzimanje... Rječnik-tezaurus sinonima ruskog govora

knjige

Igra "Učenje brojanja" za djecu od 5-7 godina. Igra sadrži 2 ekološke akrilne kocke s brojevima od 1 do 12 na svakoj i 1 kocku sa znakom plus i minus. Bacajući kocke na stol, dijete mora zbrajati ili oduzimati brojeve koji ispadnu. Za…
Zbrajanje i oduzimanje (+ 100 naljepnica), David Kirkby. Što vas čeka ispod naslovnice: ZBRAJANJE I ODUZIMANJE - nastavno pomagalo za novu seriju `Volim učiti. Priprema za školu`, uz razvoj vještina računanja, usađuje djetetu pismenost, upoznaje...