Metoda integracije najjednostavnijih racionalnih razlomaka. Integracija jednostavnih razlomaka. Tema: integracija racionalnih razlomaka

Za integraciju racionalne funkcije $\large\frac((P\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize,$ gdje je $(P\left(x \ desno))) ))$ i $(Q\left(x \right))$ su polinomi, koristi se sljedeći slijed koraka:

Ako je razlomak nepravilan (to jest, stupanj $(P\left(x \right))$ veći je od stupnja $(Q\left(x \right))$), pretvorite ga u ispravan ističući cijeli izraz;

Rastavite nazivnik $(Q\left(x \right))$ u umnožak monoma i/ili nesvodljivih kvadratnih izraza;

Rastavite racionalni razlomak na jednostavnije razlomke pomoću ;

Izračunaj integrale jednostavnih razlomaka.

Pogledajmo ove korake detaljnije.

Korak 1: Nepravilna racionalna transformacija

Ako je razlomak nepravilan (to jest, stupanj brojnika $(P\lijevo(x \desno))$ veći je od stupnja nazivnika $(Q\lijevo(x \desno))$ ), polinom $(P\ lijevo(x \desno))$ dijelimo na $(Q\left(x \right)).$ Dobivamo sljedeći izraz: \[\frac((P\ lijevo(x \desno)))((Q\lijevo (x \desno))) = F\lijevo(x \desno) + \frac((R\lijevo(x \desno)))((Q\lijevo( x \desno))),\] gdje je $\ large\frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize$ pravi racionalni razlomak.

Korak 2. Razlaganje nazivnika na jednostavne razlomke

Zapisujemo polinom nazivnika $(Q\left(x \right))$ kao \[ (Q\left(x \right) ) = ((\left((x - a) \right)^\alpha ) \ cdots (\left((x - b) \right)^\beta )(\left(((x^2) + px + q) \right)^\mu ) \cdots (\left(((x^) 2 ) + rx + s) \desno)^\nu ),) \] gdje su kvadratne funkcije nesvodljive, odnosno nemaju realne korijene.

Korak 3. Razlaganje racionalnog razlomka na zbroj jednostavnih razlomaka.

Racionalnu funkciju zapisujemo na sljedeći način: \[ (\frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \right))) = \frac(A)(((\left( ( x - a) \desno))^\alpha ))) + \frac(((A_1)))(((\left((x - a) \right))^(\alpha - 1))) ) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((A_(\alpha - 1))))((x - a)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(B)(((\left ( (x - b) \desno))^\beta ))) + \frac(((B_1)))(((\left((x - b) \right))^(\beta - 1)) ) ) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((B_(\beta - 1))))((x - b)) )\kern0pt (+ \frac((Kx + L))(((( \ lijevo(((x^2) + px + q) \desno))^\mu ))) + \frac(((K_1)x + (L_1)))(((\left(((x^) 2 ) + px + q) \desno))^(\mu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((K_(\mu - 1))x + (L_(\mu - 1 ))))(((x^2) + px + q)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac((Mx + N))(((\left(((x^2) + rx + s) \desno))^\nu ))) + \frac(((M_1)x + (N_1)))((((\left(((x^2) + rx + s) \desno)) ^ (\nu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((M_(\nu - 1))x + (N_(\nu - 1))))(((x^2 ) + rx + s)).) \] Ukupan broj neizvjesnih koeficijenata $(A_i),$ $(B_i),$ $(K_i),$ $(L_i),$ $ (M_i ) ,$ $(N_i), \ldots$ mora biti jednak potenciji nazivnika $(Q\lijevo(x \desno)).$

Zatim pomnožimo obje strane rezultirajuće jednadžbe s nazivnikom $(Q\left(x \right))$ i izjednačimo koeficijente članova s istim potencijama $x.$ Kao rezultat, dobivamo sustav linearnih jednadžbi za nepoznate koeficijente $(A_i ),$ $(B_i),$ $(K_i),$ $(L_i),$ $(M_i),$ $(N_i) ), \ldots$ Ovaj sustav uvijek ima samo odluku. Opisani algoritam je metoda neodređenih koeficijenata .

Korak 4. Integracija najjednostavnijih racionalnih razlomaka.

Najjednostavniji razlomci dobiveni proširenjem proizvoljnog pravilnog racionalnog razlomka integrirani su pomoću sljedećih šest formula: \ \ Za razlomke s kvadratnim nazivnikom, prvo morate odabrati cijeli kvadrat: \[\int (\frac((Ax + B)) (((\ lijevo(((x^2) + px + q) \desno))^k)))dx) = \int (\frac((At + B"))(((\lijevo( ((t^2 ) + (m^2)) \desno))^k)))dt) ,\] gdje je $t = x + \large\frac(p)(2)\normalsize,$ \ ((m^2 ) = \large\frac((4q - (p^2)))(4)\normalsize,\) $B" = B - \large\frac((Ap))(2)\ normalna veličina.$ Tada se primjenjuju sljedeće formule: \ \[ (4.\;\;\int (\frac((tdt))((((\left(((t^2) + (m^2)) \desno))^k )))) ) = (\frac(1)((2\left((1 - k) \right)((\left(((t^2) + (m^2)) \desno))^( k - 1)))) ) \] \ Integral $\large\int\normalsize (\large\frac((dt))(((\left(((t^2) + (m^2)) \desno))^k)))\normalsize) $ može se izračunati u $k$ koracima pomoću formule redukcije\[ (6.\;\;\int (\frac((dt))((((\left(((t^2) + (m^2)) \desno))^k))))) = (\frac(t)((2(m^2)\left((k - 1) \desno)((\left(((t^2) + (m^2)) \desno))^( k - 1))))) (+ \frac((2k - 3))((2(m^2)\left((k - 1) \right)))\int (\frac((dt)) ((((\lijevo(((t^2) + (m^2)) \desno))^(k - 1))))) ) \]

Materijal predstavljen u ovoj temi temelji se na informacijama iznesenim u temi "Racionalni razlomci. Razlaganje racionalnih razlomaka na elementarne (jednostavne) razlomke". Savjetujem vam da barem prijeđete kroz ovu temu prije nego nastavite čitati ovaj materijal. Osim toga, trebat će nam tablica neodređenih integrala.

Dopustite mi da vas podsjetim na nekoliko pojmova. O njima se raspravljalo u relevantnoj temi, pa ću se ovdje ograničiti na kratku formulaciju.

Omjer dvaju polinoma $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ naziva se racionalna funkcija ili racionalni razlomak. Racionalni razlomak se zove ispravan ako je $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется krivo.

Elementarni (najjednostavniji) racionalni razlomci su racionalni razlomci četiri vrste:

$\frac(A)(x-a)$;
$\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
$\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
$\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Napomena (poželjna za bolje razumijevanje teksta): prikaži\sakrij

Zašto je uvjet $p^2-4q neophodan?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Na primjer, za izraz $x^2+5x+10$ dobivamo: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Budući da je $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Inače, za ovu provjeru nije potrebno da koeficijent ispred $x^2$ bude jednak 1. Na primjer, za $5x^2+7x-3=0$ dobivamo: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Budući da je $D > 0$, izraz $5x^2+7x-3$ je faktoriziran.

Mogu se pronaći primjeri racionalnih razlomaka (pravilnih i nepravilnih), kao i primjeri razlaganja racionalnog razlomka na elementarne. Ovdje nas zanimaju samo pitanja njihove integracije. Počnimo s integracijom elementarnih razlomaka. Dakle, svaki od četiri tipa gornjih elementarnih razlomaka lako je integrirati koristeći formule u nastavku. Podsjetim da se pri integraciji razlomaka tipa (2) i (4) pretpostavlja $n=2,3,4,\ldots$. Formule (3) i (4) zahtijevaju uvjet $p^2-4q< 0$.

\begin(jednadžba) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(jednadžba) \begin(jednadžba) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(jednadžba) \begin(jednadžba) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(jednadžba)

Za $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ vrši se zamjena $t=x+\frac(p)(2)$, nakon čega je rezultirajući integral podijeliti na dvoje. Prvi će se izračunati umetanjem pod predznak diferencijala, a drugi će izgledati kao $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Ovaj integral se uzima pomoću rekurentne relacije

\begin(jednadžba) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\u N \end (jednadžba)

Izračun takvog integrala analiziran je u primjeru br. 7 (vidi treći dio).

Shema za izračunavanje integrala iz racionalnih funkcija (racionalni razlomci):

Ako je integrand elementaran, onda primijenite formule (1)-(4).
Ako integrand nije elementaran, onda ga predstavite kao zbroj elementarnih razlomaka, a zatim integrirajte pomoću formula (1)-(4).

Gornji algoritam za integraciju racionalnih razlomaka ima neospornu prednost - univerzalan je. Oni. Koristeći ovaj algoritam, može se integrirati bilo koji racionalni razlomak. Zato se gotovo sve zamjene varijabli u neodređenom integralu (Eulerove, Čebiševljeve zamjene, univerzalna trigonometrijska zamjena) rade na način da nakon te zamjene dobijemo racionalni razlomak ispod intervala. I primijeniti algoritam na to. Analizirat ćemo izravnu primjenu ovog algoritma na primjerima, nakon što napravimo malu bilješku.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

U principu, ovaj integral je lako dobiti bez mehaničke primjene formule. Ako iz predznaka integrala uzmemo konstantu $7$ i uzmemo u obzir da je $dx=d(x+9)$, dobivamo:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Za detaljnije informacije preporučam pogledati temu. Detaljno objašnjava kako se takvi integrali rješavaju. Inače, formula se dokazuje istim transformacijama koje su primijenjene u ovom paragrafu pri rješavanju "ručno".

2) Opet, postoje dva načina: primijeniti gotovu formulu ili bez nje. Ako primijenite formulu, tada trebate uzeti u obzir da će se koeficijent ispred $x$ (broj 4) morati ukloniti. Da bismo to učinili, jednostavno izvadimo četiri od njih u zagradama:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\lijevo(x+\frac(19)(4)\desno)^8). $$

Sada je vrijeme da primijenite formulu:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\lijevo(x+\frac(19)(4) \desno)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Možete i bez upotrebe formule. Čak i bez stavljanja konstantnih 4$ iz zagrada. Ako uzmemo u obzir da je $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, dobivamo:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Detaljna objašnjenja o pronalaženju takvih integrala data su u temi "Integracija supstitucijom (uvođenje pod predznakom diferencijala)" .

3) Moramo integrirati razlomak $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Ovaj razlomak ima strukturu $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, gdje je $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Međutim, da biste bili sigurni da je ovo doista elementarni razlomak treće vrste, morate provjeriti uvjet $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Riješimo isti primjer, ali bez upotrebe gotove formule. Pokušajmo izolirati derivaciju nazivnika u brojniku. Što to znači? Znamo da je $(x^2+10x+34)"=2x+10$. To je izraz $2x+10$ koji moramo izolirati u brojniku. Do sada brojnik sadrži samo $4x+7$ , ali to ne traje dugo. Primijenite sljedeću transformaciju na brojnik:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Sada se u brojniku pojavio traženi izraz $2x+10$. A naš integral se može prepisati na sljedeći način:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Razbijmo integrand na dva. Pa, i, sukladno tome, sam integral je također "podijeljen":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \desno)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Razgovarajmo prvo o prvom integralu, t.j. oko $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Budući da je $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, tada se diferencijal nazivnika nalazi u brojniku integranda. Ukratko, umjesto toga izraza $( 2x+10)dx$ zapisujemo $d(x^2+10x+34)$.

Recimo sada nekoliko riječi o drugom integralu. Izdvojimo puni kvadrat u nazivniku: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Osim toga, uzimamo u obzir $dx=d(x+5)$. Sada se zbroj integrala dobivenih od nas ranije može prepisati u malo drugačijem obliku:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Ako izvršimo promjenu $u=x^2+10x+34$ u prvom integralu, tada će ona poprimiti oblik $\int\frac(du)(u)$ i uzima se jednostavnom primjenom druge formule iz . Što se tiče drugog integrala, za njega je izvediva zamjena $u=x+5$, nakon čega ima oblik $\int\frac(du)(u^2+9)$. Ovo je najčišća voda, jedanaesta formula iz tablice neodređenih integrala. Dakle, vraćajući se na zbroj integrala, imat ćemo:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Dobili smo isti odgovor kao i pri primjeni formule, što, zapravo, i ne čudi. Općenito, formula se dokazuje istim metodama koje smo koristili za pronalaženje ovog integrala. Vjerujem da bi pažljiv čitatelj ovdje mogao imati jedno pitanje, stoga ću ga formulirati:

Pitanje 1

Ako drugu formulu iz tablice neodređenih integrala primijenimo na integral $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, dobivamo sljedeće:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Zašto je modul nedostajao u rješenju?

Odgovor na pitanje broj 1

Pitanje je potpuno legitimno. Modul je izostao samo zato što je izraz $x^2+10x+34$ za bilo koji $x\in R$ veći od nule. To je vrlo lako pokazati na nekoliko načina. Na primjer, budući da je $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ i $(x+5)^2 ≥ 0$, tada je $(x+5)^2+9 > 0$ . Moguće je suditi na drugačiji način, bez odabira cijelog kvadrata. Budući da je $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ za bilo koji $x\in R$ (ako je ovaj logički lanac iznenađujući, savjetujem vam da pogledate grafičku metodu za rješavanje kvadratnih nejednadžbi). U svakom slučaju, budući da je $x^2+10x+34 > 0$, onda je $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, tj. umjesto modula možete koristiti normalne zagrade.

Sve točke primjera br. 1 su riješene, ostaje samo zapisati odgovor.

Odgovor:

$\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
$\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
$\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Primjer #2

Pronađite integral $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Na prvi pogled, integrand $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ vrlo je sličan elementarnom razlomku trećeg tipa, tj. na $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Čini se da je jedina razlika koeficijent $3$ ispred $x^2$, ali neće trebati dugo da se koeficijent ukloni (izvan zagrada). Međutim, ova sličnost je očita. Za razlomak $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ uvjet $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Naš koeficijent ispred $x^2$ nije jednak jedan, pa provjerite uvjet $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, pa se izraz $3x^2-5x-2$ može faktorizirati. A to znači da razlomak $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nije elementarni razlomak treće vrste, te se odnosi na integral $\int\frac(7x+12)( 3x^2- 5x-2)dx$ formula nije dopuštena.

Pa, ako zadani racionalni razlomak nije elementaran, onda se mora predstaviti kao zbroj elementarnih razlomaka, a zatim integrirati. Ukratko, iskoristite stazu. Kako razložiti racionalni razlomak na elementarne je detaljno napisano. Počnimo s faktoringom nazivnika:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(poravnano) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(poravnano)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\lijevo(x+\frac(1)(3)\desno)(x-2). $$

Subinternu frakciju predstavljamo u sljedećem obliku:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Sada proširimo razlomak $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ u elementarne:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\desno)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\desno). $$

Za pronalaženje koeficijenata $A$ i $B$ postoje dva standardna načina: metoda neodređenih koeficijenata i metoda zamjene parcijalnih vrijednosti. Primijenimo metodu supstitucije djelomične vrijednosti zamjenom $x=2$, a zatim $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\lijevo(x+\frac(1)(3)\desno).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\lijevo(2+\frac(1)(3)\desno); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\desno); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Budući da su koeficijenti pronađeni, ostaje samo zapisati gotovu ekspanziju:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

U principu, možete ostaviti ovaj unos, ali volim točniju verziju:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Vraćajući se na izvorni integral, u njega zamjenjujemo rezultirajuću ekspanziju. Zatim integral podijelimo na dva i na svaki primijenimo formulu. Radije bih odmah izvadio konstante izvan predznaka integrala:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\desno)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\desno)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Odgovor: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Primjer #3

Pronađite integral $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Moramo integrirati razlomak $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Brojnik je polinom drugog stupnja, a nazivnik je polinom trećeg stupnja. Budući da je stupanj polinoma u brojniku manji od stupnja polinoma u nazivniku, t.j. 2 dolara< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Moramo samo razbiti dati integral na tri i primijeniti formulu na svaki. Radije bih odmah izvadio konstante izvan predznaka integrala:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Odgovor: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Nastavak analize primjera ove teme nalazi se u drugom dijelu.

Dano je izvođenje formula za izračunavanje integrala iz najjednostavnijih, elementarnih, razlomaka četiri vrste. Složeniji integrali, iz razlomaka četvrte vrste, izračunavaju se pomoću formule redukcije. Razmatran je primjer integracije razlomka četvrte vrste.

Sadržaj

Vidi također: Tablica neodređenih integrala
Metode izračunavanja neodređenih integrala

Kao što je poznato, svaka racionalna funkcija neke varijable x može se razložiti na polinom i jednostavne, elementarne, razlomke. Postoje četiri vrste jednostavnih razlomaka:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Ovdje su a, A, B, b, c realni brojevi. Jednadžba x 2+bx+c=0 nema pravih korijena.

Integracija razlomaka prva dva tipa

Integracija prva dva razlomka vrši se pomoću sljedećih formula iz tablice integrala:
,
, n ≠ - 1 .

1. Integracija razlomka prve vrste

Razlomak prvog tipa zamjenom t = x - a svodi se na tablični integral:
.

2. Integracija razlomka druge vrste

Dio druge vrste svodi se na tablični integral istom zamjenom t \u003d x - a:

.

3. Integracija razlomka trećeg tipa

Razmotrimo integral razlomka treće vrste:
.
Izračunat ćemo ga u dva koraka.

3.1. Korak 1. Odaberite derivaciju nazivnika u brojniku

Odabiremo derivaciju nazivnika u brojniku razlomka. Označimo: u = x 2+bx+c. Razlikovati: u′ = 2 x + b. Zatim
;
.
Ali
.
Izostavili smo znak modulo jer .

Zatim:
,
gdje
.

3.2. Korak 2. Izračunajte integral s A = 0, B=1

Sada izračunavamo preostali integral:
.

Nazivnik razlomka dovodimo do zbroja kvadrata:
,
gdje .
Vjerujemo da je jednadžba x 2+bx+c=0 nema korijena. Zato .

Napravimo zamjenu
,
.
.

Tako,
.

Tako smo pronašli integral razlomka treće vrste:

,
gdje .

4. Integracija razlomka četvrte vrste

I na kraju, razmotrite integral razlomka četvrte vrste:
.
Izračunavamo ga u tri koraka.

4.1) Odabiremo derivaciju nazivnika u brojniku:
.

4.2) Izračunaj integral
.

4.3) Izračunaj integrale
,
koristeći formulu cast:
.

4.1. Korak 1. Izdvajanje derivacije nazivnika u brojniku

Odabiremo derivaciju nazivnika u brojniku, kao što smo to učinili u . Označimo u = x 2+bx+c. Razlikovati: u′ = 2 x + b. Zatim
.

.
Ali
.

Konačno imamo:
.

4.2. Korak 2. Izračunavanje integrala s n = 1

Računamo integral
.
Njegov izračun je naveden u .

4.3. Korak 3. Izvođenje formule redukcije

Sada razmotrite integral
.

Kvadratni trinom dovodimo do zbroja kvadrata:
.
ovdje .
Radimo zamjenu.
.
.

Izvodimo transformacije i integraciju po dijelovima.

.

Pomnožiti sa 2 (n - 1):
.
Vraćamo se na x i I n .
,
;
;
.

Dakle, za I n smo dobili formulu redukcije:
.
Primjenjujući ovu formulu sukcesivno, smanjujemo integral I n na I 1 .

Primjer

Izračunaj integral

1. Odabiremo derivaciju nazivnika u brojniku.
;
;

.
Ovdje
.

2. Računamo integral najjednostavnijeg razlomka.

.

3. Primjenjujemo formulu redukcije:

za integral .
U našem slučaju b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Zapisujemo ovu formulu za n = 2 i n = 3 :
;
.
Odavde

.

Konačno imamo:

.
Nalazimo koeficijent na .
.

Vidi također:

Unesite funkciju za koju želite pronaći integral

Nakon izračuna neodređenog integrala, možete besplatno dobiti DETALJNO rješenje unesenog integrala.

Nađimo rješenje neodređenog integrala funkcije f(x) (antiderivat funkcije).

Primjeri

Uz korištenje stupnja
(kvadrat i kocka) i razlomci

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Korijen

Sqrt(x)/(x + 1)

kockasti korijen

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Korištenje sinusa i kosinusa

2*sin(x)*cos(x)

Arcsinus

X*arcsin(x)

Ark kosinus

x*arccos(x)

Primjena logaritma

X*log(x, 10)

prirodni logaritam

Izlagač

Tg(x)*sin(x)

Kotangens

Ctg(x)*cos(x)

Iracionalni razlomci

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arktangent

X*arctg(x)

Arc tangenta

X*arcctg(x)

Hiberbolički sinus i kosinus

2*sh(x)*ch(x)

Hiberbolički tangent i kotangens

ctgh(x)/tgh(x)

Hiberbolički arcsin i arkosinus

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hiberbolički arktangens i arkotangens

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Pravila za unos izraza i funkcija

Izrazi se mogu sastojati od funkcija (oznake su dane abecednim redom): apsolutno (x) Apsolutna vrijednost x
(modul x ili |x|) arccos(x) Funkcija - arc kosinus od x arccosh(x) Ark kosinus hiperbolički iz x arcsin(x) Arcsinus iz x arcsinh (x) Arksinus hiperbolički iz x arctg(x) Funkcija - tangenta luka iz x arctgh(x) Tangenta luka je hiperbolična iz x e e broj koji je približno jednak 2,7 exp(x) Funkcija - eksponent iz x(koji je e^x) zapisnik (x) ili zapisnik (x) Prirodni logaritam od x
(Dobiti log7(x), trebate unijeti log(x)/log(7) (ili, na primjer, for log10(x)=log(x)/log(10)) pi Broj je "Pi", što je približno jednako 3,14 grijeh(x) Funkcija - sinus od x cos(x) Funkcija - kosinus od x sinh(x) Funkcija - Hiperbolički sinus od x gotovina (x) Funkcija - Hiperbolički kosinus od x sqrt(x) Funkcija je kvadratni korijen od x sqr(x) ili x^2 Funkcija - Kvadrat x tg(x) Funkcija - Tangenta od x tgh(x) Funkcija - Hiperbolički tangens od x cbrt(x) Funkcija je kubni korijen od x

U izrazima možete koristiti sljedeće operacije: Realni brojevi unesite u obrazac 7.5 , ne 7,5 2*x- množenje 3/x- podjela x^3- eksponencijalnost x + 7- dodatak x - 6- oduzimanje
Druge značajke: kat (x) Funkcija - zaokruživanje x dolje (primjer kat(4,5)==4,0) strop (x) Funkcija - zaokruživanje x gore (primjer strop(4,5)==5,0) znak (x) Funkcija - Znak x erf(x) Funkcija pogreške (ili integral vjerojatnosti) Laplace (x) Laplaceova funkcija

Problem nalaženja neodređenog integrala frakcijsko racionalne funkcije svodi se na integraciju jednostavnih razlomaka. Stoga preporučamo da se prvo upoznate s odjeljkom o teoriji razlaganja razlomaka na jednostavne.

Primjer.

Riješenje.

Budući da je stupanj brojnika integranda jednak stupnju nazivnika, prvo odabiremo cijeli broj dijeljenjem polinoma polinomom sa stupcem:

Zato, .

Razlaganje dobivenog pravilnog racionalnog razlomka na jednostavne razlomke ima oblik . posljedično,

Dobiveni integral je integral najjednostavnijeg razlomka trećeg tipa. Gledajući malo unaprijed, napominjemo da se može uzeti pod znakom diferencijala.

Jer , onda . Zato

posljedično,

Prijeđimo sada na opisivanje metoda za integraciju najjednostavnijih razlomaka svake od četiri vrste.

Integracija najjednostavnijih razlomaka prvog tipa

Metoda izravne integracije idealna je za rješavanje ovog problema:

Primjer.

Riješenje.

Pronađite neodređeni integral koristeći svojstva antiderivata, tablicu antiderivata i pravilo integracije.

Vrh stranice

Integracija najjednostavnijih razlomaka druge vrste

Metoda izravne integracije također je prikladna za rješavanje ovog problema:

Primjer.

Riješenje.

Vrh stranice

Integracija najjednostavnijih razlomaka trećeg tipa

Najprije predstavljamo neodređeni integral kao zbroj:

Prvi integral uzimamo metodom podvođenja pod znak diferencijala:

Zato,

Transformiramo nazivnik rezultirajućeg integrala:

posljedično,

Formula za integraciju najjednostavnijih razlomaka trećeg tipa ima oblik:

Primjer.

Pronađite neodređeni integral .

Riješenje.

Koristimo rezultirajuću formulu:

Da nemamo ovu formulu, što bismo radili:

9. Integracija najjednostavnijih razlomaka četvrtog tipa

Prvi korak je zbrojiti ga pod znakom diferencijala:

Drugi korak je pronalaženje integrala oblika . Integrali ovog tipa nalaze se pomoću rekurentnih formula. (Pogledajte integraciju razdvajanja pomoću rekurzivnih formula). Za naš slučaj prikladna je sljedeća rekurzivna formula:

Primjer.

Pronađite neodređeni integral

Riješenje.

Za ovu vrstu integranda koristimo metodu supstitucije. Uvedemo novu varijablu (pogledajte odjeljak o integraciji iracionalnih funkcija):

Nakon zamjene imamo:

Došli smo do pronalaženja integrala razlomka četvrte vrste. U našem slučaju imamo koeficijente M=0, p=0, q=1, N=1 i n=3. Primjenjujemo rekurzivnu formulu:

Nakon obrnute zamjene dobivamo rezultat:

10. Integracija trigonometrijskih funkcija.

Mnogi se problemi svode na pronalaženje integrala transcendentalnih funkcija koje sadrže trigonometrijske funkcije. U ovom članku grupiramo najčešće vrste integranda i razmatramo metode njihove integracije na primjerima.

Počnimo s integracijom sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa.

Iz tablice antiderivata to odmah primjećujemo i .

Metoda dovođenja pod diferencijalni znak omogućuje vam izračunavanje neodređenih integrala tangentne i kotangensne funkcije:

Vrh stranice

Analizirajmo prvi slučaj, drugi je apsolutno sličan.

Koristimo metodu zamjene:

Došli smo do problema integracije iracionalne funkcije. Ovdje će nam pomoći i metoda zamjene:

Ostaje izvršiti obrnutu zamjenu i t=sinx:

Vrh stranice

Više o principima njihovog pronalaženja možete saznati u odjeljku o integraciji korištenjem rekurentnih formula. Ako proučavate izvođenje ovih formula, onda bez velikih poteškoća možete uzeti integrale oblika , gdje m i n- cijeli brojevi.

Vrh stranice

Maksimalna kreativnost mora biti uložena kada integrand sadrži trigonometrijske funkcije s različitim argumentima.

Ovdje u pomoć dolaze osnovne formule trigonometrije. Stoga ih ispišite na poseban papir i držite ih ispred očiju.

Primjer.

Pronađite skup antiderivata funkcije .

Riješenje.

Formule za smanjenje stupnja daju i .

Zato

Nazivnik je formula za sinus zbroja, dakle,

Dolazimo do zbroja tri integrala.

Vrh stranice

Integrali koji sadrže trigonometrijske funkcije ponekad se mogu svesti na frakcijske racionalne izraze korištenjem standardne trigonometrijske supstitucije.

Napišimo trigonometrijske formule koje izražavaju sinus, kosinus, tangent kroz tangentu polovice argumenta:

Prilikom integracije potreban nam je i diferencijalni izraz dx kroz tangentu pola kuta.

Jer , onda

Odnosno gdje.

Primjer.

Pronađite neodređeni integral .

Riješenje.

Primjenjujemo standardnu trigonometrijsku supstituciju:

Na ovaj način, .

Dekompozicija na najjednostavnije frakcijske integrande dovodi nas do zbroja dvaju integrala:

Ostaje izvršiti obrnutu zamjenu:

11. Rekurentne formule su formule koje izražavaju n-ti član niza kroz prethodne članove. Prilikom pronalaženja integrala često se koriste.

Ne želimo navesti sve rekurzivne formule, ali želimo dati princip njihovog dobivanja. Izvođenje ovih formula temelji se na transformaciji integranda i primjeni metode integracije po dijelovima.

Na primjer, neodređeni integral može se uzeti pomoću rekurzivne formule .