Integrali trigonometrijskih funkcija.
Primjeri rješenja

U ovoj lekciji razmatrat ćemo integrale trigonometrijskih funkcija, odnosno punjenje integrala bit će sinus, kosinus, tangenta i kotangens u raznim kombinacijama. Svi će primjeri biti detaljno analizirani, dostupni i razumljivi čak i za čajnik.

Da biste uspješno proučavali integrale trigonometrijskih funkcija, morate biti dobro upućeni u najjednostavnije integrale, kao i ovladati nekim tehnikama integracije. S ovim materijalima možete se upoznati na predavanjima. Neodređeni integral. Primjeri rješenja i .

A sada nam treba: Tablica integrala, Tablica izvedenica i Priručnik trigonometrijskih formula. Svi priručnici se mogu pronaći na stranici Matematičke formule i tablice. Preporučam sve ispisati. Posebno se fokusiram na trigonometrijske formule, trebali bi vam biti pred očima– bez toga će se učinkovitost rada osjetno smanjiti.

Ali prvo, o kojim integralima u ovom članku Ne. Ovdje nema integrala oblika , - kosinus, sinus pomnožen nekim polinomom (rjeđe, nešto s tangentom ili kotangensom). Takvi su integrali integrirani po dijelovima, a kako biste naučili metodu, posjetite lekciju Integracija po dijelovima. Primjeri rješenja.Također, ne postoje integrali s "lukovima" - arc tangenta, arc sinus i sl., također su najčešće integrirani po dijelovima.

Prilikom pronalaženja integrala trigonometrijskih funkcija koriste se brojne metode:

(4) Koristite tabličnu formulu , jedina razlika je u tome što umjesto "x" imamo složen izraz.

Primjer 2

Primjer 3

Pronađite neodređeni integral.

Klasik žanra za one koji se utapaju u ljestvici. Kao što ste vjerojatno primijetili, u tablici integrala nema integrala tangente i kotangensa, ali se takvi integrali mogu pronaći.

(1) Koristimo trigonometrijsku formulu

(2) Funkciju dovodimo pod predznak diferencijala.

(3) Koristite tablični integral .

Primjer 4

Pronađite neodređeni integral.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje, cjelovito rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.

Primjer 5

Pronađite neodređeni integral.

Naše razine će se postupno povećavati =).
Prvo rješenje:

(1) Koristimo formulu

(2) Koristimo osnovni trigonometrijski identitet , iz čega proizlazi da .

(3) Podijelite brojnik nazivnikom član po član.

(4) Koristimo svojstvo linearnosti neodređenog integrala.

(5) Integriramo pomoću tablice.

Primjer 6

Pronađite neodređeni integral.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje, cjelovito rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.

Postoje i integrali tangenta i kotangensa, koji su u višim potencijama. U lekciji se razmatra integral tangente u kocki Kako izračunati površinu ravnine figure? Integrali tangente (kotangensa) u četvrtom i petom stepenu mogu se dobiti na stranici Složeni integrali.

Smanjenje stupnja integranda

Ova tehnika radi kada su integrandi napunjeni sinusima i kosinusima čak stupnjeva. Za smanjenje stupnja koriste se trigonometrijske formule , i , a posljednja formula se češće koristi u suprotnom smjeru: .

Primjer 7

Pronađite neodređeni integral.

Riješenje:

U principu, tu nema ništa novo, osim što smo primijenili formulu (spuštanje stupnja integranda). Napominjemo da sam skratio rješenje. Kako se iskustvo stječe, integral se može pronaći i usmeno, što štedi vrijeme i sasvim je prihvatljivo pri dovršavanju zadataka. U ovom slučaju, preporučljivo je ne pisati pravilo , prvo smo verbalno uzeti integral od 1, zatim - od .

Primjer 8

Pronađite neodređeni integral.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje, cjelovito rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.

Obećano povećanje stupnja:

Primjer 9

Pronađite neodređeni integral.

Prvo rješenje, komentari kasnije:

(1) Pripremite integrand za primjenu formule .

(2) Mi zapravo primjenjujemo formulu.

(3) Imenik kvadriramo i iz predznaka integrala izvadimo konstantu. Moglo bi se napraviti malo drugačije, ali, po mom mišljenju, prikladnije je.

(4) Koristimo formulu

(5) U trećem terminu opet spuštamo stupanj, ali koristeći formulu .

(6) Dajemo slične pojmove (ovdje sam podijelio pojam po pojam i izvršio dodavanje).

(7) Mi zapravo uzimamo integral, pravilo linearnosti a način dovođenja funkcije pod znak diferencijala izvodi se usmeno.

(8) Pročešljamo odgovor.

! U neodređenom integralu odgovor se često može napisati na nekoliko načina.

U upravo razmatranom primjeru, konačni odgovor bi se mogao napisati drugačije - otvorite zagrade i čak to učinite prije integracije izraza, odnosno sljedeći završetak primjera je sasvim prihvatljiv:

Moguće je da je ova opcija još zgodnija, samo sam to objasnio onako kako sam se i sam odlučio). Evo još jednog tipičnog primjera za neovisno rješenje:

Primjer 10

Pronađite neodređeni integral.

Ovaj primjer je riješen na dva načina, a možete ga dobiti dva potpuno različita odgovora.(točnije, izgledat će potpuno drugačije, ali s matematičke točke gledišta bit će ekvivalentni). Najvjerojatnije nećete vidjeti najracionalniji način i patiti ćete s otvaranjem zagrada, koristeći druge trigonometrijske formule. Najučinkovitije rješenje je dano na kraju lekcije.

Sumirajući odlomak, zaključujemo da svaki integral oblika , gdje i - čak broj, rješava se snižavanjem stupnja integranda.
U praksi sam susreo integrale s 8 i 10 stupnjeva, morao sam rješavati njihove strašne hemoroide tako što sam nekoliko puta spuštao stupanj, što je rezultiralo dugim, dugim odgovorima.

Varijabilna metoda zamjene

Kao što je spomenuto u članku Metoda promjene varijable u neodređenom integralu, glavni preduvjet za korištenje metode zamjene je činjenica da integrand sadrži neku funkciju i njenu derivaciju :
(funkcije nisu nužno u proizvodu)

Primjer 11

Pronađite neodređeni integral.

Gledamo tablicu izvedenica i uočavamo formule, , odnosno u našem integrandu postoji funkcija i njezin izvod. Međutim, vidimo da se pri diferenciranju kosinus i sinus međusobno pretvaraju jedan u drugi i postavlja se pitanje: kako napraviti promjenu varijable i što označiti za - sinus ili kosinus ?! Pitanje se može riješiti metodom znanstvenog bockanja: ako zamijenimo pogrešno, onda od toga neće biti ništa dobro.

Opća smjernica: u sličnim slučajevima trebate označiti funkciju koja je u nazivniku.

Prekidamo rješenje i vršimo zamjenu

U nazivniku, kod nas je sve u redu, sve ovisi samo o , sada ostaje saznati u što će se to pretvoriti.
Da bismo to učinili, nalazimo diferencijal:

Ili, ukratko:
Iz dobivene jednakosti, prema pravilu proporcije, izražavamo izraz koji nam je potreban:

Tako:

Sada cijeli integrand ovisi samo o i možemo nastaviti s rješenjem

Spreman. Podsjećam da je svrha zamjene pojednostaviti integrand, u ovom slučaju se sve svodi na integraciju funkcije moći preko tablice.

Nisam slučajno ovako detaljno oslikao ovaj primjer, to je učinjeno kako bih se ponovio i konsolidirao nastavni materijal. Metoda promjene varijable u neodređenom integralu.

A sada dva primjera za samostalno rješenje:

Primjer 12

Pronađite neodređeni integral.

Primjer 13

Pronađite neodređeni integral.

Cjelovita rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Primjer 14

Pronađite neodređeni integral.

I ovdje se u integrandu nalazi sinus s kosinusom (funkcija s derivacijom), ali već u umnošku i postavlja se dilema - što označiti, sinus ili kosinus?

Možete pokušati napraviti zamjenu znanstvenom metodom poke, a ako ništa ne uspije, označite je kao drugu funkciju, ali postoji:

Opća smjernica: jer trebate označiti funkciju koja je, slikovito rečeno, u "neugodnom položaju".

Vidimo da u ovom primjeru studentski kosinus "pati" od stupnja, a sinus tako slobodno sjedi, sam od sebe.

Pa napravimo zamjenu:

Ako netko još uvijek ima poteškoća s algoritmom promjene varijable i pronalaženjem diferencijala, trebao bi se vratiti na lekciju Metoda promjene varijable u neodređenom integralu.

Primjer 15

Pronađite neodređeni integral.

Analiziramo integrand, što bi trebalo označiti s ?
Pogledajmo naše smjernice:
1) Funkcija je najvjerojatnije u nazivniku;
2) Funkcija je u "neudobnom položaju".

Usput, ove smjernice vrijede ne samo za trigonometrijske funkcije.

Pod oba kriterija (osobito pod drugim) sinus odgovara pa se zamjena nameće sama od sebe. U principu, zamjena se već može izvršiti, ali prvo bi bilo lijepo shvatiti što učiniti s? Prvo, "zakačimo" jedan kosinus:

Rezerviramo za naš "budući" diferencijal

I izražavamo kroz sinus koristeći osnovni trigonometrijski identitet:

Evo sad zamjene:

Opće pravilo: Ako je u integrandu jedna od trigonometrijskih funkcija (sinus ili kosinus) in neparan stupnja, tada trebate "odgristi" jednu funkciju od neparnog stupnja i odrediti drugu funkciju iza. Govorimo samo o integralima, gdje postoje kosinus i sinus.

U razmatranom primjeru imali smo kosinus u neparnom stupnju, pa smo od stupnja odvojili jedan kosinus i označili sinus.

Primjer 16

Pronađite neodređeni integral.

Razine idu gore =).
Ovo je "uradi sam" primjer. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Univerzalna trigonometrijska zamjena

Univerzalna trigonometrijska supstitucija je čest slučaj promjene metode varijable. Možete ga pokušati primijeniti kada "ne znate što učiniti". Ali zapravo, postoje neke smjernice za njegovu primjenu. Tipični integrali kod kojih se treba primijeniti univerzalna trigonometrijska supstitucija su sljedeći integrali: , , , itd.

Primjer 17

Pronađite neodređeni integral.

Univerzalna trigonometrijska zamjena u ovom slučaju se provodi na sljedeći način. Zamijenimo: . Ne koristim slovo , nego slovo , ovo nije nekakvo pravilo, samo opet, tako sam navikao odlučivati.

Ovdje je prikladnije pronaći diferencijal, za to iz jednakosti izražavam:
Visim na oba dijela tangente luka:

Arktangent i tangenta se međusobno poništavaju:

Na ovaj način:

U praksi, ne možete slikati tako detaljno, već jednostavno koristite gotov rezultat:

! Izraz vrijedi samo ako ispod sinusa i kosinusa imamo samo "xes", za integral (o čemu ćemo kasnije) sve će biti malo drugačije!

Prilikom zamjene sinusa i kosinusa pretvaramo se u sljedeće razlomke:
, , ove se jednakosti temelje na dobro poznatim trigonometrijskim formulama: ,

Dakle, čišćenje bi moglo izgledati ovako:

Izvršimo univerzalnu trigonometrijsku zamjenu:

U praksi se često mora izračunati integrale transcendentnih funkcija koje sadrže trigonometrijske funkcije. U okviru ovog materijala opisat ćemo glavne vrste integranda i pokazati koje metode se mogu koristiti za njihovu integraciju.

Integracija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa

Počnimo s metodama integracije glavnih trigonometrijskih funkcija - sin, cos, t g, c t g. Koristeći tablicu antiderivata, odmah zapisujemo da je ∫ sin x d x \u003d - cos x + C, i ∫ cos x d x \u003d sin x + C.

Za izračunavanje neodređenih integrala funkcija t g i c t g, možete koristiti zbroj pod predznakom diferencijala:

∫ t g x d x = ∫ sin x cos x d x = d (cos x) = - sin x d x = = - ∫ d (cos x) cos x = - ln cos x + C ∫ c t g x d x = ∫ cos x sin x d x = d (sin x) = cos x d x = = ∫ d (sin x) sin x = ln sin x + C

Kako smo dobili formule ∫ d x sin x \u003d ln 1 - cos x sin x + C i ∫ d x cos x \u003d ln 1 + sin x cos x + C, preuzete iz tablice antiderivata? Objasnimo samo jedan slučaj, budući da će drugi biti jasan analogijom.

Metodom zamjene pišemo:

∫ d x sin x = sin x = t ⇒ x = a r c sin y ⇒ d x = d t 1 - t 2 = d t t 1 - t 2

Ovdje trebamo integrirati iracionalnu funkciju. Uzimamo istu metodu zamjene:

∫ d t t 1 - t 2 = 1 - t 2 = z 2 ⇒ t = 1 - z 2 ⇒ d t = - z d z 1 - z 2 = = ∫ - z d z z 1 - z 2 1 - z 2 = ∫ d z z 2 - 1 = ∫ d z (z - 1) (z +) = = 1 2 ∫ d z z - 1 - 1 2 ∫ d z z + 1 = 1 2 ln z - 1 - 1 2 z + 1 + C = = 1 2 ln z - 1 z + 1 + C = ln z - 1 z + 1 + C

Sada napravimo obrnutu zamjenu z = 1 - t 2 i t = sin x:

∫ d x sin x = ∫ d t t 1 - t 2 = ln z - 1 z + 1 + C = = ln 1 - t 2 - 1 1 - t 2 + 1 + C = ln 1 - sin 2 x - 1 1 - sin 2 x + 1 + C = = ln cos x - 1 cos x + 1 + C = ln (cos x - 1) 2 sin 2 x + C = = ln cos x - 1 sin x + C

Zasebno ćemo analizirati slučajeve s integralima koji sadrže potencije trigonometrijskih funkcija, kao što su ∫ sin n x d x , ∫ cos n x d x , ∫ d x sin n x , ∫ d x cos n x .

O tome kako ih ispravno izračunati možete pročitati u članku o integraciji pomoću rekurzivnih formula. Ako znate kako se te formule izvode, lako možete uzeti integrale poput ∫ sin n x cos m x d x s prirodnim m i n .

Ako imamo kombinaciju trigonometrijskih funkcija s polinomima ili eksponencijalnim funkcijama, tada će se morati integrirati po dijelovima. Savjetujemo vam da pročitate članak posvećen metodama pronalaženja integrala ∫ P n (x) sin (a x) d x , ∫ P n (x) cos (a x) d x , ∫ e a x sin (a x) d x , ∫ e a x cos (a x ) d x .

Najteži su zadaci u kojima integrand uključuje trigonometrijske funkcije s različitim argumentima. Da biste to učinili, morate koristiti osnovne formule trigonometrije, pa ih je poželjno zapamtiti napamet ili držati zapis pri ruci.

Primjer 1

Pronađite skup antiderivata funkcije y = sin (4 x) + 2 cos 2 (2 x) sin x cos (3 x) + 2 cos 2 x 2 - 1 sin (3 x) .

Riješenje

Koristimo formule za smanjenje snage i zapišemo da je cos 2 x 2 = 1 + cos x 2 i cos 2 2 x = 1 + cos 4 x 2. Sredstva,

y = sin (4 x) + 2 cos 2 (2 x) sin x cos (3 x) + 2 cos 2 x 2 - 1 sin (3 x) = sin (4 x) + 2 1 + cos 4 x 2 sin x cos (3 x) + 2 1 + cos x 2 - 1 sin (3 x) = = sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin x cos (3 x) + cos x sin (3 x)

U nazivniku imamo formulu za sinus zbroja. Onda to možete napisati ovako:

y = sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin x cos (3 x) + cos x sin (3 x) = sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin (4 x ) = = 1 + cos (4 x) sin (4 x)

Imamo zbroj 3 integrala.

∫ sin (4 x) + cos (4 x) + 1 sin x cos (3 x) + cos x sin (3 x) d x = = ∫ d x + cos (4 x) d x sin (4 x) + ∫ d x sin (4 x) = = x + 1 4 ln ∫ d (sin (4 x)) sin (4 x) + 1 4 ln cos (4 x) - 1 sin (4 x) = = 1 4 ln sin ( 4 x ) + 1 4 ln cos (4 x) - 1 sin (4 x) + C = x + 1 4 ln cos 4 x - 1 + C

U nekim slučajevima, trigonometrijske funkcije koje su pod integralom mogu se svesti na frakcijske racionalne izraze korištenjem standardne metode zamjene. Prvo, uzmimo formule koje izražavaju sin, cos i t g kroz tangentu pola argumenta:

sin x = 2 t g x 2 1 + t g 2 x 2 , sin x = 1 - t g 2 x 2 1 + t g 2 x 2 , t g x = 2 t g x 2 1 - t g 2 x 2

Također ćemo morati izraziti diferencijal dx u terminima tangenta polukuta:

Budući da je d t g x 2 \u003d t g x 2 "d x \u003d d x 2 cos 2 x 2, tada

d x = 2 cos 2 x 2 d t g x 2 = 2 d t g x 2 1 cos 2 x 2 = 2 d t g x 2 cos 2 x 2 + sin 2 x 2 cos 2 x 2 = 2 d t g x 2 1 + t g 2 x 2

Dakle, sin x \u003d 2 z 1 + z 2, cos x 1 - z 2 1 + z 2, t g x 2 z 1 - z 2, d x \u003d 2 d z 1 + z 2 na z \u003d t g x 2.

Primjer 2

Pronađite neodređeni integral ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 .

Riješenje

Koristimo standardnu ​​trigonometrijsku metodu supstitucije.

2 sin x + cos x + 2 = 2 2 z 1 + z 2 + 1 - z 2 1 + z 2 = z 2 + 4 z + 3 1 + z 2 ⇒ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 d z 1 + z 2 z 2 + 4 z + 3 1 + z 2 = 2 d z z 2 + 4 z + 3

Dobivamo da je ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 d z z 2 + 4 z + 3 .

Sada možemo proširiti integrand u jednostavne razlomke i dobiti zbroj dvaju integrala:

∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 ∫ 2 d z z 2 + 4 z + 3 = 2 ∫ 1 2 1 z + 1 - 1 z + 3 d z = = ∫ d z z + 1 - ∫ C z + 3 = ln z + 1 - log z + 3 + C = log z + 1 z + 3 + C

∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = ln z + 1 z + 3 + C = ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C

Odgovor: ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C

Važno je napomenuti da one formule koje izražavaju funkcije u terminima tangenta pola argumenta nisu identiteti, stoga je rezultirajući izraz ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C skup antiderivata funkcije y = 1 2 sin x + cos x + 2 samo na domeni definicije.

Za rješavanje drugih vrsta problema možete koristiti osnovne metode integracije.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Detaljno se razmatraju primjeri rješenja integrala po dijelovima čiji je integrand umnožak polinoma i eksponencijala (e na stepen x) ili sinusa (sin x) ili kosinusa (cos x).

Sadržaj

Vidi također: Način integracije po dijelovima
Tablica neodređenih integrala
Metode izračunavanja neodređenih integrala
Osnovne elementarne funkcije i njihova svojstva

Formula integracije po dijelovima

Prilikom rješavanja primjera u ovom odjeljku koristi se formula za integraciju po dijelovima:
;
.

Primjeri integrala koji sadrže umnožak polinoma i sin x, cos x ili e x

Evo primjera takvih integrala:
, , .

Za integraciju takvih integrala, polinom se označava s u, a ostatak s v dx. Zatim se primjenjuje formula integracije po dijelovima.

U nastavku je detaljno rješenje ovih primjera.

Primjeri rješavanja integrala

Primjer s eksponentom, e na stepen x

Definiraj integral:
.

Uvodimo eksponent pod predznakom diferencijala:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Integriramo po dijelovima.

ovdje
.
Preostali integral je također integrabilan po dijelovima.
.
.
.
Konačno imamo:
.

Primjer definiranja integrala sa sinusom

Izračunaj integral:
.

Uvodimo sinus pod znakom diferencijala:

Integriramo po dijelovima.

ovdje je u = x 2 , v = cos(2x+3), du = ( x2 )′ dx

Preostali integral je također integrabilan po dijelovima. Da bismo to učinili, uvodimo kosinus pod znakom diferencijala.


ovdje je u = x, v = grijeh (2x+3), du = dx

Konačno imamo:

Primjer umnoška polinoma i kosinusa

Izračunaj integral:
.

Uvodimo kosinus pod znakom diferencijala:

Integriramo po dijelovima.

ovdje je u = x 2+3x+5, v = sin2x, du = ( x 2 + 3 x + 5 )′ dx

Prikazane su osnovne trigonometrijske formule i osnovne supstitucije. Prikazane su metode za integraciju trigonometrijskih funkcija - integracija racionalnih funkcija, umnožak funkcija stepena sin x i cos x, umnožak polinoma, eksponenta i sinusa ili kosinusa, integracija inverznih trigonometrijskih funkcija. Pogođene nestandardne metode.

Sadržaj

Standardne metode za integraciju trigonometrijskih funkcija

Opći pristup

Prvo, ako je potrebno, integrand se mora transformirati tako da trigonometrijske funkcije ovise o jednom argumentu, koji bi se podudarao s integracijskom varijablom.

Na primjer, ako integrand ovisi o sin(x+a) i cos(x+b), tada biste trebali izvršiti transformaciju:
cos (x+b) = cos (x+a - (a-b)) = cos (x+a) cos (b-a) + sin(x+a) sin(b-a).
Zatim izvršite promjenu z = x+a . Kao rezultat toga, trigonometrijske funkcije ovisit će samo o integracijskoj varijabli z.

Kada trigonometrijske funkcije ovise o jednom argumentu, koji se podudara s integracijskom varijablom (recimo da je to z), to jest, integrand se sastoji samo od funkcija tipa grijeh z, cos z, tgz, ctgz, tada morate izvršiti zamjenu
.
Takva zamjena dovodi do integracije racionalnih ili iracionalnih funkcija (ako postoje korijeni) i omogućuje izračunavanje integrala ako je integriran u elementarne funkcije.

Međutim, često možete pronaći druge metode koje vam omogućuju da izračunate integral na kraći način, na temelju specifičnosti integranda. U nastavku je sažetak glavnih takvih metoda.

Metode za integraciju racionalnih funkcija sin x i cos x

Racionalne funkcije iz grijeh x i cos x su funkcije izvedene iz grijeh x, cos x i sve konstante koje koriste operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i podizanja na cijeli broj. Označavaju se na sljedeći način: R (sinx, cosx). To također može uključivati ​​tangente i kotangense, budući da se formiraju dijeljenjem sinusa kosinusom i obrnuto.
Integrali racionalnih funkcija imaju oblik:
.

Metode za integraciju racionalnih trigonometrijskih funkcija su sljedeće.
1) Zamjena uvijek vodi do integrala racionalnog razlomka. Međutim, u nekim slučajevima postoje zamjene (vidi dolje) koje rezultiraju kraćim izračunima.
2) Ako je R (sinx, cosx) cos x → - cos x grijeh x.
3) Ako je R (sinx, cosx) pomnoženo s -1 prilikom zamjene sin x → - sin x, tada je zamjena t = cos x.
4) Ako je R (sinx, cosx) ne mijenja kao kod istodobne zamjene cos x → - cos x, i sin x → - sin x, tada je zamjena t = tg x ili t= ctg x.

primjeri:
, , .

Umnožak funkcija stepena cos x i sin x

Integrali oblika

su integrali racionalnih trigonometrijskih funkcija. Stoga se metode navedene u prethodnom odjeljku mogu primijeniti na njih. U nastavku razmatramo metode temeljene na specifičnostima takvih integrala.

Ako su m i n racionalni brojevi, tada je jedna od permutacija t = grijeh x ili t= cos x integral se svodi na integral diferencijalnog binoma.

Ako su m i n cijeli brojevi, tada se integracija izvodi pomoću redukcijskih formula:

;
;
;
.

Primjer:
.

Integrali iz umnoška polinoma i sinusa ili kosinusa

Integrali oblika:
, ,
gdje je P(x) polinom u x integrirani su po dijelovima. To rezultira sljedećim formulama:

;
.

primjeri:
, .

Integrali iz umnoška polinoma, eksponenta i sinusa ili kosinusa

Integrali oblika:
, ,
gdje je P(x) polinom u x , integrirani su korištenjem Eulerove formule
e iax = cos sjekira + isin sjekira(gdje je i 2 = - 1 ).
Za to, metoda opisana u prethodnom odlomku izračunava integral
.
Odvajanjem realnog i imaginarnog dijela od rezultata dobivaju se izvorni integrali.

Primjer:
.

Nestandardne metode za integraciju trigonometrijskih funkcija

Ispod je niz nestandardnih metoda koje vam omogućuju izvođenje ili pojednostavljenje integracije trigonometrijskih funkcija.

Ovisnost o (a sin x + b cos x)

Ako integrand ovisi samo o a sin x + b cos x, korisno je primijeniti formulu:
,
gdje .

Na primjer

Razlaganje razlomaka iz sinusa i kosinusa na jednostavnije razlomke

Razmotrimo integral
.
Najlakši način za integraciju je razlaganje razlomka na jednostavnije, primjenom transformacije:
sin(a - b) = sin(x + a - (x + b)) = sin(x+a) cos(x+b) - cos(x+a) sin(x+b)

Integracija razlomaka prvog stupnja

Prilikom izračunavanja integrala
,
zgodno je odabrati cjelobrojni dio razlomka i derivaciju nazivnika
a 1 sin x + b 1 cos x = A (a sin x + b cos x) + B (a sin x + b cos x)′ .
Konstante A i B nalaze se usporedbom lijeve i desne strane.

Reference:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, Lan, 2003.

Vidi također:

Tablica antiderivata („integrala“). Tablica integrala. Tablični neodređeni integrali. (Jednostavni integrali i integrali s parametrom). Formule za integraciju po dijelovima. Newton-Leibnizova formula.

Tablica antiderivata („integrala“). Tablični neodređeni integrali. (Jednostavni integrali i integrali s parametrom).
Integral funkcije snage.	Integral funkcije snage.
Integral koji se svodi na integral funkcije stepena ako se x vodi pod znakom diferencijala.
	Eksponencijalni integral, gdje je a konstantan broj.
Integral složene eksponencijalne funkcije.	Integral eksponencijalne funkcije.
Integral jednak prirodnom logaritmu.	Integral: "Dugi logaritam".
	Integral: "Dugi logaritam".
Integral: "Visoki logaritam".	Integral, gdje se x u brojniku dovodi pod znak diferencijala (konstanta pod predznakom se može i zbrajati i oduzimati), kao rezultat, sličan je integralu jednakom prirodnom logaritmu.
Integral: "Visoki logaritam".
Kosinusni integral.	Sinusni integral.
Integral jednak tangenti.	Integral jednak kotangensu.
Integral jednak i arksinusu i arksinusu
Integral jednak i inverznom sinusu i inverznom kosinsu.	Integral jednak i tangentu luka i kotangensu luka.
Integral je jednak kosekansu.	Integral jednak sekanti.
Integral jednak arcsecansu.	Integral jednak kosekansu luka.
Integral jednak arcsecansu.	Integral jednak arcsecansu.
Integral jednak hiperboličkom sinusu.	Integral jednak hiperboličkom kosinsu.
Integral jednak hiperboličkom sinusu, gdje je sinhx hiperbolički sinus na engleskom.	Integral jednak hiperboličkom kosinsu, gdje je sinhx hiperbolički sinus u engleskoj verziji.
Integral jednak hiperboličkom tangentu.	Integral jednak hiperboličkom kotangensu.
Integral jednak hiperboličkom sekantu.	Integral jednak hiperboličkom kosekansu.

Formule za integraciju po dijelovima. Pravila integracije.

Formule za integraciju po dijelovima. Newton-Leibnizova formula Pravila integracije.
Integracija proizvoda (funkcije) konstantom:
Integracija zbroja funkcija:
neodređeni integrali:
Formula integracije po dijelovima određeni integrali:
Newton-Leibnizova formula određeni integrali:	Gdje su F(a),F(b) vrijednosti antiderivata u točkama b i a.

Tablica izvedenica. Derivati ​​tablice. Derivat proizvoda. Derivat od privatnog. Derivat složene funkcije.

Ako je x nezavisna varijabla, tada:

Tablica izvedenica. Derivati ​​tablice. "izvedenica tablice" - da, nažalost, tako se traže na internetu
	Izvod funkcije moći
	Derivat eksponenta
Derivat složene eksponencijalne funkcije	Derivat eksponencijalne funkcije
Derivat logaritamske funkcije	Derivat prirodnog logaritma
	Derivat prirodnog logaritma funkcije
Sinusni derivat	kosinusni derivat
Kosecans derivacija	Sekantna derivacija
Derivat od arcsina	Ark kosinus derivacija
Derivat od arcsina	Ark kosinus derivacija
Tangentna derivacija	Kotangens derivat
Arc tangentni derivat	Derivat inverzne tangente
Arc tangentni derivat	Derivat inverzne tangente
Arcsecant derivat	Derivat lučnog kosekansa
Arcsecant derivat	Derivat lučnog kosekansa
Derivat hiperboličkog sinusa Derivat hiperboličkog sinusa u engleskoj verziji	Hiperbolički kosinusni derivat Derivat hiperboličkog kosinusa u engleskoj verziji
Derivat hiperboličke tangente	Derivat hiperboličkog kotangensa
Derivat hiperboličkog sekansa	Derivat hiperboličkog kosekansa

Pravila diferencijacije. Derivat proizvoda. Derivat od privatnog. Derivat složene funkcije.
Derivat proizvoda (funkcije) konstantom:
Derivat sume (funkcije):
Derivat proizvoda (funkcija):
Derivat kvocijenta (funkcija):
Derivat kompleksne funkcije:

Svojstva logaritama. Osnovne formule logaritama. Decimalni (lg) i prirodni logaritmi (ln).

Osnovni logaritamski identitet
Pokažimo kako se bilo koja funkcija oblika a b može učiniti eksponencijalnom. Budući da se funkcija oblika e x naziva eksponencijalna, onda
Bilo koja funkcija oblika a b može se predstaviti kao stepen desetice

Prirodni logaritam ln (osnova logaritma e = 2,718281828459045…) ln(e)=1; log(1)=0

Taylor serija. Proširenje funkcije u Taylorov niz.

Ispada da većina praktički nastaju matematičke funkcije mogu se predstaviti s bilo kojom točnošću u blizini određene točke u obliku nizova potencija koji sadrže potencije varijable u rastućem redoslijedu. Na primjer, u blizini točke x=1:

Kada koristite redove pozvane taylor rows, mješovite funkcije koje sadrže, recimo, algebarske, trigonometrijske i eksponencijalne funkcije mogu se izraziti kao čisto algebarske funkcije. Uz pomoć serija, diferencijacija i integracija se često mogu brzo provesti.

Taylorov red u blizini točke a ima sljedeće oblike:

1) , gdje je f(x) funkcija koja ima derivacije svih redova na x=a. R n - preostali član u Taylorovom nizu određen je izrazom

2)

k-ti koeficijent (pri x k) niza određuje se formulom

3) Poseban slučaj serije Taylor je Maclaurin serija (=McLaren) (dekompozicija se odvija oko točke a=0)

za a=0

članovi niza određeni su formulom

Uvjeti za primjenu Taylorove serije.

1. Da bi se funkcija f(x) proširila u Taylorov red na intervalu (-R;R), potrebno je i dovoljno da preostali član u Taylorovoj formuli (Maclaurin (=McLaren)) za to funkcija teži nuli na k →∞ na navedenom intervalu (-R;R).

2. Nužno je da postoje derivacije za ovu funkciju u točki u čijoj blizini ćemo graditi Taylorov red.

Svojstva Taylorovog niza.

Ako je f analitička funkcija, tada njezin Taylorov red u bilo kojoj točki a domene f konvergira na f u nekom susjedstvu a.

Postoje beskonačno diferencibilne funkcije čiji Taylorov red konvergira, ali se razlikuje od funkcije u bilo kojem susjedstvu a. Na primjer:

Taylorovi redovi se koriste za aproksimaciju (aproksimacija je znanstvena metoda koja se sastoji u zamjeni nekih objekata drugima, u jednom ili drugom smislu bliskim izvorniku, ali jednostavnijim) funkcijama polinomima. Konkretno, linearizacija ((od linearis - linearan), jedna od metoda aproksimativnog predstavljanja zatvorenih nelinearnih sustava, u kojoj se proučavanje nelinearnog sustava zamjenjuje analizom linearnog sustava, u smislu ekvivalentnom izvornom .) jednadžbi se događa proširenjem u Taylorov niz i odsijecanjem svih članova iznad prvog reda.

Stoga se gotovo svaka funkcija može predstaviti kao polinom sa zadanom točnošću.

Primjeri nekih uobičajenih proširenja funkcija snaga u Maclaurinovim redovima (=McLaren,Taylor u blizini točke 0) i Tayloru u blizini točke 1. Prvi članovi proširenja glavnih funkcija u Taylorov i MacLaren red.

Primjeri nekih uobičajenih proširenja funkcija snaga u Maclaurinovim nizovima (= MacLaren, Taylor u blizini točke 0)

Primjeri nekih uobičajenih proširenja Taylorovog niza oko točke 1