Vektori za lutke. Radnje s vektorima. Vektorske koordinate. Najjednostavniji problemi s vektorima. Izračun duljine (modula) vektora u MS EXCEL-u Koliki je modul vektora a b

Karakterizira ga veličina i smjer. Na primjer, u geometriji i prirodnim znanostima vektor je usmjereni segment u euklidskom prostoru (ili na ravnini).

To je jedan od temeljnih pojmova linearne algebre. Kada se koristi najopćenitija definicija, vektori su gotovo svi objekti koji se proučavaju u linearnoj algebri, uključujući matrice, tenzore, međutim, ako su ti objekti prisutni u okolnom kontekstu, vektor se razumije kao vektor reda ili vektor stupca, odnosno vektor tenzor prvog ranga. Svojstva operacija nad vektorima proučavaju se u vektorskom računu.

Notacija [ | ]

Vektor predstavljen skupom n (\displaystyle n) elementi (komponenta) a 1 , a 2 , … , a n (\displaystyle a_(1),a_(2),\ldots,a_(n)) označena na sljedeće načine:

⟨ a 1 , a 2 , … , a n ⟩ , (a 1 , a 2 , … , a n) , ( a 1 , a 2 , … , a n ) (\displaystyle \langle a_(1),a_(2), \ldots ,a_(n)\,\ranngle ,\ \lijevo(a_(1),a_(2),\ldots ,a_(n)\,\desno),\(a_(1),a_(2) ,\ldots ,a_(n)\,\)).

Da biste naglasili da se radi o vektoru (a ne o skalaru), upotrijebite precrtani font, strelicu iznad glave, podebljani ili gotički font:

a ¯ , a → , a , A , a . (\displaystyle (\bar (a)),\ (\vec (a)),\mathbf (a) ,(\mathfrak (A)),\ (\mathfrak (a)).)

Vektorsko zbrajanje gotovo je uvijek označeno znakom plus:

a → + b → (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))).

Uz njega je jednostavno napisano množenje brojem, bez posebnog znaka, na primjer:

k b → (\displaystyle k(\vec (b))),

a broj se obično ispisuje s lijeve strane.

Ne postoje općeprihvaćene vektorske oznake, koriste se podebljani tip, crtica ili strelica iznad slova, gotička abeceda itd.

U geometriji [ | ]

U geometriji se vektori shvaćaju kao usmjereni segmenti. Ova se interpretacija često koristi u računalnoj grafici pri izgradnji svjetlosnih karata koristeći površinske normale. Također možete koristiti vektore za pronalaženje područja različitih oblika, poput trokuta i paralelograma, kao i volumena tijela: tetraedra i paralelepipeda.
Ponekad se smjer identificira s vektorom.

Vektor se u geometriji prirodno povezuje s prijenosom (paralelni prijenos), što očito pojašnjava podrijetlo njegovog imena (lat. vektor, prijevoznik). Doista, svaki usmjereni segment jednoznačno definira neku vrstu paralelnog prijelaza ravnine ili prostora, i obrnuto, paralelni prijevod jednoznačno definira jedan usmjereni segment (nedvosmisleno - ako smatramo da su svi usmjereni segmenti istog smjera i duljine jednaki - odnosno smatrati ih slobodnim vektorima) .

Tumačenje vektora kao prijevoda omogućuje nam da uvedemo operaciju zbrajanja vektora na prirodan i intuitivno očigledan način - kao kompoziciju (sukcesivnu primjenu) dva (ili više) prijevoda; isto vrijedi i za operaciju množenja vektora brojem.

U linearnoj algebri[ | ]

Opća definicija[ | ]

Najopćenitija definicija vektora data je pomoću opće algebre:

• Označiti F (\displaystyle (\mathfrak (F)))(gotički F) neko polje s mnogo elemenata F (\displaystyle F), aditivni rad + (\displaystyle +), multiplikativna operacija ∗ (\displaystyle*), te odgovarajući neutralni elementi : aditivna jedinica i multiplikativna jedinica 1 (\displaystyle 1).
• Označiti V (\displaystyle (\mathfrak (V)))(gotski V) neka Abelova grupa sa skupom elemenata V (\displaystyle V), aditivni rad + (\displaystyle +) i, sukladno tome, s jedinicom aditiva 0 (\displaystyle\mathbf(0) ).

Drugim riječima, neka F = ⟨F; + , ∗ ⟩ (\displaystyle (\mathfrak (F))=\langle F;+,*\rangle ) i V = ⟨V; + ⟩ (\displaystyle (\mathfrak (V))=\langle V;+\rangle ).

Ako postoji operacija F × V → V (\displaystyle F\puta V\to V), takav da za bilo koji a , b ∈ F (\displaystyle a,b\in F) i za bilo koje x , y ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \u V) ispunjeni su sljedeći odnosi:

Vektor kao niz[ | ]

Vektor- (sekvencija, tuple) homogeni elementi. Ovo je najopćenitija definicija u smislu da možda uopće nema konvencionalnih vektorskih operacija, može ih biti manje ili možda ne zadovoljavaju uobičajene aksiome linearnog prostora. U tom se obliku vektor razumije u programiranju, gdje se u pravilu označava imenom identifikatora s uglastim zagradama (npr. objekt). Popis svojstava modelira prihvaćeno u

Nađimo duljinu vektora po njegovim koordinatama (u pravokutnom koordinatnom sustavu), po koordinatama točaka početka i kraja vektora te po kosinusnom teoremu (dana su 2 vektora i kut između njih).

Vektor je usmjereni segment. Duljina ovog segmenta određuje brojčanu vrijednost vektora i naziva se duljina vektora ili vektorski modul.

1. Izračunavanje duljine vektora iz njegovih koordinata

Ako su vektorske koordinate zadane u ravnom (dvodimenzionalnom) pravokutnom koordinatnom sustavu, t.j. a x i a y su poznati, tada se duljina vektora može naći po formuli

U slučaju vektora u prostoru dodaje se treća koordinata

U MS EXCEL izrazu =KORIJEN(SUMSQ(B8:B9)) omogućuje izračunavanje modula vektora (pretpostavlja se da su vektorski koordinatori uneseni u ćelije B8:B9, vidi primjer datoteke).

Funkcija SUMSQ() vraća zbroj kvadrata argumenata, tj. u ovom slučaju, ekvivalentno formuli =B8*B8+B9*B9 .

Datoteka primjera također izračunava duljinu vektora u prostoru.

Alternativna formula je izraz =KORIJEN(SUMPROIZVOD(B8:B9,B8:B9)).

2. Pronalaženje duljine vektora kroz koordinate točaka

Ako vektor je dan kroz koordinate njegove početne i krajnje točke, tada će formula biti drugačija =ROOT(SUMDIFF(C28:C29,B28:B29))

Formula pretpostavlja da su koordinate početne i krajnje točke unesene u raspone C28:C29 i B28:B29 odnosno.

Funkcija SUMMQVAR() u Vraća zbroj kvadrata razlika odgovarajućih vrijednosti u dva niza.

Zapravo, formula prvo izračunava koordinate vektora (razliku odgovarajućih koordinata točaka), a zatim izračunava zbroj njihovih kvadrata.

3. Određivanje duljine vektora pomoću kosinusnog teorema

Ako želite pronaći duljinu vektora koristeći kosinusni teorem, obično se zadaju 2 vektora (njihovi moduli i kut između njih).

Pomoću formule pronađite duljinu vektora =KORIJEN(SUMQ(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

U stanicama B43:B43 sadrži duljine vektora a i b, te stanicu B45 - kut između njih u radijanima (u razlomcima broja PI()).

Ako je kut dan u stupnjevima, formula će biti malo drugačija. =KORIJEN(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*PI()/180))

Bilješka: radi jasnoće, u ćeliji s vrijednošću kuta u stupnjevima, možete koristiti , pogledajte, na primjer, članak

Duljina vektora a → bit će označena s a → . Ovaj zapis sličan je modulu broja, pa se duljina vektora naziva i modulom vektora.

Da bismo pronašli duljinu vektora na ravnini po njegovim koordinatama, potrebno je razmotriti pravokutni Dekartov koordinatni sustav O x y . Neka sadrži neki vektor a → s koordinatama a x ; a y . Uvodimo formulu za pronalaženje duljine (modula) vektora a → u terminima koordinata a x i a y .

Vektor O A → = a → odvojiti od ishodišta. Definirajmo odgovarajuće projekcije točke A na koordinatne osi kao A x i A y . Sada razmotrimo pravokutnik O A x A A y s dijagonalom O A .

Iz Pitagorinog teorema slijedi jednakost O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , odakle je O A = O A x 2 + O A y 2 . Iz već poznate definicije koordinata vektora u pravokutnom kartezijanskom koordinatnom sustavu dobivamo da je O A x 2 = a x 2 i O A y 2 = a y 2 , a konstrukcijom je duljina O A jednaka duljini vektor O A → , dakle, O A → = O A x 2 + O A y 2.

Otuda ispada da formula za pronalaženje duljine vektora a → = a x ; a y ima odgovarajući oblik: a → = a x 2 + a y 2 .

Ako je vektor a → zadan kao ekspanzija u koordinatnim vektorima a → = a x i → + a y j → , tada se njegova duljina može izračunati pomoću iste formule a → = a x 2 + a y 2 , u ovom slučaju koeficijenti a x i a y su kao koordinate vektora a → u zadanom koordinatnom sustavu.

Primjer 1

Izračunaj duljinu vektora a → = 7 ; e , zadan u pravokutnom koordinatnom sustavu.

Riješenje

Da bismo pronašli duljinu vektora, koristit ćemo formulu za pronalaženje duljine vektora po koordinatama a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Odgovor: a → = 49 + e .

Formula za pronalaženje duljine vektora a → = a x ; a y ; a z po svojim koordinatama u kartezijanskom koordinatnom sustavu Oxyz u prostoru, izvodi se slično formuli za slučaj na ravnini (vidi sliku ispod)

U ovom slučaju, O A 2 \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (budući da je OA dijagonala pravokutnog paralelepipeda), dakle O A \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2. Iz definicije koordinata vektora možemo napisati sljedeće jednakosti O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z; , a duljina OA jednaka je duljini vektora koji tražimo, dakle, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Iz toga slijedi da je duljina vektora a → = a x ; a y ; a z je jednako a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Primjer 2

Izračunajte duljinu vektora a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → , gdje su i → , j → , k → jedinični vektori pravokutnog koordinatnog sustava.

Riješenje

S obzirom na dekompoziciju vektora a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → , njegove koordinate su a → = 4 , - 3 , 5 . Koristeći gornju formulu, dobivamo a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 .

Odgovor: a → = 5 2 .

Duljina vektora u smislu koordinata njegove početne i krajnje točke

Iznad su izvedene formule koje vam omogućuju da pronađete duljinu vektora po njegovim koordinatama. Razmatrali smo slučajeve na ravnini iu trodimenzionalnom prostoru. Pomoću njih pronađimo koordinate vektora po koordinatama njegove početne i krajnje točke.

Dakle, zadane točke s danim koordinatama A (a x; a y) i B (b x; b y), stoga vektor A B → ima koordinate (b x - a x; b y - a y), što znači da se njegova duljina može odrediti formulom: A B → = ( ​​b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

A ako su točke zadane s danim koordinatama A (a x; a y; a z) i B (b x; b y; b z) u trodimenzionalnom prostoru, tada se duljina vektora A B → može izračunati formulom

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

Primjer 3

Pronađite duljinu vektora A B → ako je u pravokutnom koordinatnom sustavu A 1, 3, B-3, 1.

Riješenje

Koristeći formulu za pronalaženje duljine vektora iz koordinata početne i krajnje točke na ravnini, dobivamo A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

Drugo rješenje podrazumijeva primjenu ovih formula naizmjence: A B → = (- 3 - 1; 1 - 3) = (- 4; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

Odgovor: A B → = 20 - 2 3 .

Primjer 4

Odrediti za koje vrijednosti je duljina vektora A B → jednaka 30 ako je A (0, 1, 2) ; B (5, 2, λ 2) .

Riješenje

Prvo, napišimo duljinu vektora A B → prema formuli: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

Zatim izjednačimo rezultirajući izraz s 30, odavde nalazimo željeni λ:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 i l i λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Odgovor: λ 1 \u003d - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.

Određivanje duljine vektora pomoću zakona kosinusa

Nažalost, koordinate vektora nisu uvijek poznate u zadacima, pa razmotrimo druge načine pronalaženja duljine vektora.

Neka su zadane duljine dvaju vektora A B → , A C → i kut između njih (ili kosinus kuta), a potrebno je pronaći duljinu vektora B C → ili C B → . U ovom slučaju trebate koristiti kosinusni teorem u trokutu △ A B C , izračunati duljinu stranice B C , koja je jednaka željenoj duljini vektora.

Razmotrimo takav slučaj u sljedećem primjeru.

Primjer 5

Duljine vektora A B → i A C → jednake su 3 odnosno 7, a kut između njih jednak je π 3 . Izračunaj duljinu vektora B C → .

Riješenje

Duljina vektora B C → u ovom slučaju jednaka je duljini stranice B C trokuta △ A B C . Duljine stranica A B i A C trokuta poznate su iz uvjeta (jednake su duljinama odgovarajućih vektora), poznat je i kut između njih pa možemo koristiti kosinusni teorem: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B , → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 3 7 cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Dakle, B C → = 37 .

Odgovor: B C → = 37 .

Dakle, da bismo pronašli duljinu vektora po koordinatama, postoje sljedeće formule a → = a x 2 + a y 2 ili a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, prema koordinatama točaka početka i kraja vektora A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 ili A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, u nekim slučajevima kosinusni teorem trebalo bi se koristiti.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Konačno sam se dočepao jedne opsežne i dugo očekivane teme analitička geometrija. Prvo, malo o ovom dijelu više matematike... Sigurno ste se sada sjetili školskog kolegija geometrije s brojnim teoremama, njihovim dokazima, crtežima itd. Što skrivati, nevoljena i često opskurna tema za značajan dio učenika. Analitička geometrija, začudo, može se činiti zanimljivijom i pristupačnijom. Što znači pridjev "analitički"? Odmah mi padaju na pamet dva utisnuta matematička zaokreta: “grafička metoda rješenja” i “analitička metoda rješenja”. Grafička metoda, naravno, povezan je s konstrukcijom grafikona, crteža. Analitički isti metoda uključuje rješavanje problema pretežno kroz algebarske operacije. U tom smislu, algoritam za rješavanje gotovo svih problema analitičke geometrije jednostavan je i transparentan, često je dovoljno točno primijeniti potrebne formule - i odgovor je spreman! Ne, naravno, uopće neće proći bez crteža, osim toga, radi boljeg razumijevanja gradiva, pokušat ću ih donijeti više od potrebe.

Otvoreni tijek nastave iz geometrije ne pretendira na teorijsku cjelovitost, usmjeren je na rješavanje praktičnih problema. U svoja predavanja uključit ću samo ono što je, s moje točke gledišta, važno u praktičnom smislu. Ako trebate potpuniju referencu na bilo koji pododjeljak, preporučujem sljedeću prilično pristupačnu literaturu:

1) Stvar koja je, bez šale, poznata nekoliko generacija: Školski udžbenik iz geometrije, autori - L.S. Atanasyan i Tvrtka. Ova vješalica za školsku svlačionicu izdržala je već 20 (!) reizdanja, što, naravno, nije granica.

2) Geometrija u 2 toma. Autori L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ovo je literatura za visoko obrazovanje, trebat će vam prvi svezak. Zadaci koji se rijetko pojavljuju mogu ispasti iz mog vidnog polja, a tutorial će mi biti od neprocjenjive pomoći.

Obje knjige mogu se besplatno preuzeti na internetu. Osim toga, možete koristiti moju arhivu s gotovim rješenjima, koja se nalaze na stranici Preuzmite primjere iz više matematike.

Od alata, opet nudim vlastiti razvoj - softverski paket na analitičkoj geometriji, što će uvelike pojednostaviti život i uštedjeti puno vremena.

Pretpostavlja se da su čitatelju poznati osnovni geometrijski pojmovi i likovi: točka, pravac, ravnina, trokut, paralelogram, paralelepiped, kocka itd. Preporučljivo je zapamtiti neke teoreme, barem Pitagorin teorem, zdravo ponavljači)

A sada ćemo uzastopno razmotriti: koncept vektora, radnje s vektorima, vektorske koordinate. Nadalje preporučam čitanje najvažniji članak Točkasti proizvod vektora, kao i Vektorski i mješoviti umnožak vektora. Lokalni zadatak neće biti suvišan - Podjela segmenta u tom smislu. Na temelju gore navedenih informacija, možete jednadžba ravne u ravnini S najjednostavniji primjeri rješenja, što će omogućiti naučiti rješavati probleme iz geometrije. Sljedeći članci su također korisni: Jednadžba ravnine u prostoru, Jednadžbe ravne u prostoru, Osnovni problemi na liniji i ravni , ostali dijelovi analitičke geometrije. Naravno, usput će se razmatrati standardni zadaci.

Koncept vektora. slobodni vektor

Prvo, ponovimo školsku definiciju vektora. Vektor pozvao usmjereno segment kojemu su naznačeni početak i kraj:

U ovom slučaju, početak segmenta je točka, kraj segmenta je točka. Sam vektor se označava sa . Smjer bitno, ako preuredite strelicu na drugi kraj segmenta, dobit ćete vektor, a ovo je već potpuno drugačiji vektor. Zgodno je poistovjećivati ​​koncept vektora s kretanjem fizičkog tijela: morate priznati da su ulazak na vrata instituta ili napuštanje vrata instituta potpuno različite stvari.

Zgodno je pojedine točke ravnine, prostor smatrati tzv nulti vektor. Takav vektor ima isti kraj i početak.

!!! Bilješka: Ovdje i ispod možete pretpostaviti da vektori leže u istoj ravnini ili možete pretpostaviti da se nalaze u prostoru - bit prikazanog materijala vrijedi i za ravninu i za prostor.

Oznake: Mnogi su odmah skrenuli pažnju na štap bez strelice u oznaci i rekli da su i na vrhu stavili strelicu! Tako je, možete pisati strelicom: , ali dopušteno i zapis koji ću kasnije koristiti. Zašto? Očito se takva navika razvila iz praktičnih razmatranja, moji strijelci u školi i na fakultetu su se pokazali previše raznoliki i čupavi. U obrazovnoj literaturi ponekad se uopće ne zamaraju klinastim pismom, već podebljano ističu slova: , čime se implicira da se radi o vektoru.

To je bio stil, a sada o načinima pisanja vektora:

1) Vektori se mogu napisati s dva velika latinična slova:
i tako dalje. Dok je prvo slovo nužno označava početnu točku vektora, a drugo slovo označava krajnju točku vektora.

2) Vektori su također napisani malim latiničnim slovima:
Konkretno, naš se vektor može preimenovati radi kratkoće malim latiničnim slovom.

Duljina ili modul vektor različit od nule naziva se duljina segmenta. Duljina nul-vektora je nula. Logički.

Duljina vektora je označena modulo znakom: ,

Kako pronaći duljinu vektora, naučit ćemo (ili ponoviti, za koga kako) nešto kasnije.

To su bile osnovne informacije o vektoru, poznate svim školarcima. U analitičkoj geometriji tzv slobodni vektor.

Ako je sasvim jednostavno - vektor se može povući iz bilo koje točke:

Takve smo vektore nekada nazivali jednakima (definicija jednakih vektora bit će data u nastavku), ali s čisto matematičke točke gledišta, ovo je ISTI VEKTOR ili slobodni vektor. Zašto besplatno? Jer tijekom rješavanja problema možete "pričvrstiti" jedan ili drugi "školski" vektor na BILO KOJU točku ravnine ili prostora koja vam je potrebna. Ovo je vrlo cool nekretnina! Zamislite usmjereni segment proizvoljne duljine i smjera - može se "klonirati" beskonačan broj puta i u bilo kojoj točki prostora, zapravo, postoji SVUDA. Postoji takva studentska poslovica: Svaki predavač u f ** u u vektoru. Uostalom, nije samo duhovita rima, sve je gotovo točno - tu se može priložiti i usmjereni segment. Ali nemojte se žuriti s radošću, sami studenti češće pate =)

Tako, slobodni vektor- ovo je Mnogo identični usmjereni segmenti. Školska definicija vektora, dana na početku odlomka: „Usmjereni segment naziva se vektor ...“, podrazumijeva specifično usmjereni segment uzet iz zadanog skupa, koji je pričvršćen za određenu točku u ravnini ili prostoru.

Valja napomenuti da je sa stajališta fizike koncept slobodnog vektora općenito netočan, a bitna je i točka primjene. Doista, dovoljan je izravan udarac iste sile u nos ili po čelo da se razvije moj glupi primjer povlači različite posljedice. Međutim, nije besplatno vektori se također nalaze u tijeku vyshmata (ne idite tamo :)).

Radnje s vektorima. Kolinearnost vektora

U školskom kolegiju geometrije razmatraju se brojne radnje i pravila s vektorima: zbrajanje po pravilu trokuta, zbrajanje po pravilu paralelograma, pravilo razlike vektora, množenje vektora brojem, skalarni umnožak vektora itd. Kao sjeme ponavljamo dva pravila koja su posebno bitna za rješavanje problema analitičke geometrije.

Pravilo zbrajanja vektora prema pravilu trokuta

Razmotrimo dva proizvoljna ne-nula vektora i :

Potrebno je pronaći zbroj ovih vektora. Zbog činjenice da se svi vektori smatraju slobodnima, odgađamo vektor iz kraj vektor:

Zbroj vektora je vektor . Za bolje razumijevanje pravila, preporučljivo je u njega staviti fizičko značenje: neka neko tijelo napravi put duž vektora , a zatim duž vektora . Tada je zbroj vektora vektor rezultirajućeg puta koji počinje u točki polaska i završava u točki dolaska. Slično pravilo je formulirano za zbroj bilo kojeg broja vektora. Kako kažu, tijelo može ići svojim putem snažno cik-cak, ili možda na autopilotu - duž rezultirajućeg vektora zbroja.

Usput, ako se vektor odgodi od početak vektor , tada dobivamo ekvivalent pravilo paralelograma zbrajanje vektora.

Prvo, o kolinearnosti vektora. Dva vektora se nazivaju kolinearna ako leže na istoj liniji ili na paralelnim crtama. Grubo govoreći, govorimo o paralelnim vektorima. Ali u odnosu na njih uvijek se koristi pridjev "kolinearni".

Zamislite dva kolinearna vektora. Ako su strelice ovih vektora usmjerene u istom smjeru, tada se takvi vektori nazivaju suusmjeran. Ako strelice gledaju u različitim smjerovima, tada će vektori biti suprotno usmjerena.

Oznake: kolinearnost vektora ispisuje se uobičajenom ikonom paralelizma: , dok je detaljizacija moguća: (vektori su suusmjereni) ili (vektori su usmjereni suprotno).

raditi vektora različitog od nule brojem je vektor čija je duljina jednaka , a vektori i su usmjereni na i suprotno usmjereni na .

Pravilo množenja vektora brojem lakše je razumjeti sa slikom:

Detaljnije razumijemo:

1) Smjer. Ako je množitelj negativan, tada je vektor mijenja smjer na suprotno.

2) Duljina. Ako je faktor sadržan unutar ili , tada duljina vektora smanjuje se. Dakle, duljina vektora je dvostruko manja od duljine vektora. Ako je množitelj modula veći od jedan, tada je duljina vektora povećava na vrijeme.

3) Imajte na umu da svi vektori su kolinearni, dok se jedan vektor izražava kroz drugi, na primjer, . Vrijedi i obrnuto: ako se jedan vektor može izraziti u terminima drugog, tada su takvi vektori nužno kolinearni. Na ovaj način: ako vektor pomnožimo brojem, dobivamo kolinearno(u odnosu na original) vektor.

4) Vektori su kosmjerni. Vektori i su također kosmjerni. Svaki vektor prve skupine suprotan je bilo kojem vektoru druge skupine.

Koji su vektori jednaki?

Dva vektora su jednaka ako su kosmjerna i imaju istu duljinu. Imajte na umu da suusmjeravanje implicira da su vektori kolinearni. Definicija će biti netočna (suvišna) ako kažete: "Dva vektora su jednaka ako su kolinearni, kousmjereni i imaju istu duljinu."

Sa stajališta koncepta slobodnog vektora, jednaki vektori su isti vektor, o čemu je već bilo riječi u prethodnom odlomku.

Vektorske koordinate na ravnini iu prostoru

Prva točka je razmatranje vektora na ravnini. Nacrtajte kartezijanski pravokutni koordinatni sustav i odvojite ga od ishodišta singl vektori i:

Vektori i ortogonalni. Ortogonalno = okomito. Preporučujem da se polako navikavamo na pojmove: umjesto paralelizma i okomitosti, koristimo riječi redom kolinearnost i ortogonalnost.

Oznaka: ortogonalnost vektora zapisuje se uobičajenim okomitim predznakom, na primjer: .

Razmatrani vektori se nazivaju koordinatni vektori ili orts. Ovi vektori se formiraju osnovu na površini. Što je osnova, mislim da je mnogima intuitivno jasno, detaljnije informacije možete pronaći u članku Linearna (ne)ovisnost vektora. Vektorska osnova.Jednostavno rečeno, osnova i ishodište koordinata definiraju cijeli sustav - to je svojevrsni temelj na kojem vrije pun i bogat geometrijski život.

Ponekad se konstruirana osnova naziva ortonormalno osnova ravnine: "orto" - jer su koordinatni vektori ortogonalni, pridjev "normaliziran" znači jedinica, t.j. duljine baznih vektora jednake su jedan.

Oznaka: osnova je obično napisana u zagradama, unutar kojih u strogom redu navedeni su bazni vektori, na primjer: . Koordinatni vektori Zabranjeno je zamijeniti mjesta.

Bilo koji ravan vektor jedini način izraženo kao:
, gdje - brojevima, koji se zovu vektorske koordinate u ovoj osnovi. Ali sam izraz pozvao vektorska dekompozicijaosnovu .

Poslužena večera:

Počnimo s prvim slovom abecede: . Crtež jasno pokazuje da se pri dekomponiranju vektora u smislu baze koriste upravo razmatrani:
1) pravilo množenja vektora brojem: i ;
2) zbrajanje vektora prema pravilu trokuta: .

Sada mentalno odvojite vektor iz bilo koje druge točke na ravnini. Sasvim je očito da će ga njegova korupcija “neumoljivo pratiti”. Evo je, sloboda vektora - vektor "nosi sve sa sobom". Ovo svojstvo, naravno, vrijedi za bilo koji vektor. Smiješno je da sami osnovni (slobodni) vektori ne moraju biti odvojeni od ishodišta, jedan se može nacrtati npr. dolje lijevo, a drugi gore desno i od ovoga se ništa neće promijeniti! Istina, ne morate to učiniti, jer će učitelj također pokazati originalnost i nacrtati vam "prolaz" na neočekivanom mjestu.

Vektori , ilustriraju točno pravilo za množenje vektora brojem, vektor je suusmjeren s baznim vektorom, vektor je usmjeren suprotno od bazičnog vektora. Za ove vektore, jedna od koordinata jednaka je nuli, može se pomno napisati na sljedeći način:


A osnovni vektori su, inače, ovakvi: (zapravo, izražavaju se kroz sebe).

I konačno: , . Usput, što je vektorsko oduzimanje i zašto ti nisam rekao o pravilu oduzimanja? Negdje u linearnoj algebri, ne sjećam se gdje, primijetio sam da je oduzimanje poseban slučaj zbrajanja. Dakle, proširenja vektora "de" i "e" mirno su zapisana kao zbroj: . Slijedite crtež kako biste vidjeli koliko dobro funkcionira staro dobro zbrajanje vektora prema pravilu trokuta u ovim situacijama.

Razmatrana dekompozicija oblika ponekad se naziva vektorska dekompozicija u sustavu ort(tj. u sustavu jediničnih vektora). Ali ovo nije jedini način za pisanje vektora, uobičajena je sljedeća opcija:

Ili sa znakom jednakosti:

Sami bazni vektori zapisuju se na sljedeći način: i

To jest, koordinate vektora su navedene u zagradama. U praktičnim zadacima koriste se sve tri opcije snimanja.

Dvoumio sam se hoću li govoriti, ali ipak ću reći: vektorske koordinate se ne mogu preurediti. Strogo na prvom mjestu zapišite koordinatu koja odgovara jediničnom vektoru, strogo na drugom mjestu zapišite koordinatu koja odgovara jediničnom vektoru . Doista, i dva su različita vektora.

Odgonetnuli smo koordinate u avionu. Sada razmotrite vektore u trodimenzionalnom prostoru, ovdje je sve gotovo isto! Dodat će se još samo jedna koordinata. Teško je izvoditi trodimenzionalne crteže, pa ću se ograničiti na jedan vektor, koji ću zbog jednostavnosti odgoditi od početka:

Bilo koji 3D vektor prostora jedini način proširiti u ortonormalnoj bazi:
, gdje su koordinate vektora (broja) u zadanoj bazi.

Primjer sa slike: . Pogledajmo kako ovdje funkcioniraju pravila vektorske akcije. Prvo, množenje vektora brojem: (crvena strelica), (zelena strelica) i (magenta strelica). Drugo, ovdje je primjer zbrajanja nekoliko, u ovom slučaju tri, vektora: . Vektor zbroja počinje na početnoj točki polaska (početak vektora) i završava na konačnoj točki dolaska (kraj vektora).

Svi vektori trodimenzionalnog prostora, naravno, također su besplatni, pokušajte mentalno odgoditi vektor iz bilo koje druge točke i shvatit ćete da njegovo širenje "ostaje s njim".

Slično kao i kućište aviona, osim pisanja inačice sa zagradama se široko koriste: bilo .

Ako u proširenju nedostaje jedan (ili dva) koordinatna vektora, umjesto njih se stavljaju nule. primjeri:
vektor (pažljivo ) - Zapiši ;
vektor (pažljivo ) - Zapiši ;
vektor (pažljivo ) - Zapiši .

Osnovni vektori zapisuju se na sljedeći način:

Ovdje je, možda, svo minimalno teorijsko znanje potrebno za rješavanje problema analitičke geometrije. Možda ima previše pojmova i definicija, pa preporučam lutkama da ponovno pročitaju i shvate ove informacije. I svakom će čitatelju biti korisno da se s vremena na vrijeme osvrne na osnovnu lekciju radi bolje asimilacije gradiva. Kolinearnost, ortogonalnost, ortonormalna baza, vektorska dekompozicija - ovi i drugi koncepti će se često koristiti u nastavku. Napominjem da materijali stranice nisu dovoljni za polaganje teoretskog ispita, kolokvija iz geometrije, budući da pažljivo šifriram sve teoreme (osim bez dokaza) - na štetu znanstvenog stila prezentacije, ali plus za vaše razumijevanje subjekta. Za detaljnije teorijske informacije, molim vas da se poklonite profesoru Atanasyanu.

A sada prijeđimo na praktični dio:

Najjednostavniji problemi analitičke geometrije.
Radnje s vektorima u koordinatama

Zadatke koji će se razmatrati, vrlo je poželjno naučiti kako ih rješavati potpuno automatski, a formule zapamtiti, nemojte ga se ni sjećati namjerno, oni će ga sami zapamtiti =) Ovo je vrlo važno, budući da se drugi problemi analitičke geometrije temelje na najjednostavnijim elementarnim primjerima, a bit će neugodno trošiti dodatno vrijeme na jedući pijune. Ne trebate zakopčati gornje gumbe na košulji, mnoge stvari poznate su vam iz škole.

Prezentacija gradiva odvijat će se paralelno – kako za avion tako i za svemir. Iz razloga što su sve formule ... uvjerit ćete se sami.

Kako pronaći vektor s dvije točke?

Ako su date dvije točke ravnine i, tada vektor ima sljedeće koordinate:

Ako su zadane dvije točke u prostoru i, tada vektor ima sljedeće koordinate:

To je, iz koordinata kraja vektora trebate oduzeti odgovarajuće koordinate vektorski početak.

Vježba: Za iste točke zapišite formule za pronalaženje koordinata vektora. Formule na kraju lekcije.

Primjer 1

S obzirom na dvije točke u ravnini i . Pronađite vektorske koordinate

Riješenje: prema odgovarajućoj formuli:

Alternativno, može se koristiti sljedeća oznaka:

Esteti će odlučiti ovako:

Osobno sam navikao na prvu verziju ploče.

Odgovor:

Prema uvjetu, nije bilo potrebno napraviti crtež (što je tipično za probleme analitičke geometrije), ali da bih lutkama objasnio neke točke, neću biti previše lijen:

Mora se razumjeti razlika između koordinata točke i vektorskih koordinata:

Koordinate točke su uobičajene koordinate u pravokutnom koordinatnom sustavu. Mislim da svi znaju crtati točke na koordinatnoj ravnini od 5-6 razreda. Svaka točka ima strogo mjesto u ravnini i ne može se nigdje pomaknuti.

Koordinate istog vektora je njegova ekspanzija u odnosu na osnovu , u ovom slučaju . Svaki vektor je slobodan, stoga ga po želji ili potrebi možemo lako odgoditi s neke druge točke u ravnini. Zanimljivo je da za vektore uopće ne možete graditi osi, pravokutni koordinatni sustav, potrebna vam je samo baza, u ovom slučaju, ortonormalna baza ravnine.

Čini se da su zapisi koordinata točaka i vektorskih koordinata slični: , i osjećaj za koordinate apsolutno drugačiji, i trebali biste biti dobro svjesni ove razlike. Ova razlika, naravno, vrijedi i za prostor.

Dame i gospodo, punimo ruke:

Primjer 2

a) Zadane bodove i . Pronađite vektore i .
b) Daju se bodovi i . Pronađite vektore i .
c) Zadane bodove i . Pronađite vektore i .
d) Daju se bodovi. Pronađite vektore .

Možda dosta. Ovo su primjeri za samostalnu odluku, pokušajte ih ne zanemariti, isplatit će vam se ;-). Crteži nisu potrebni. Rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Što je važno u rješavanju problema analitičke geometrije? Važno je biti IZUZETNO OPREZNI kako bi se izbjegla majstorska pogreška “dva plus dva jednako je nula”. Unaprijed se izvinjavam ako sam pogriješio =)

Kako pronaći duljinu segmenta?

Duljina je, kao što je već navedeno, označena znakom modula.

Ako su zadane dvije točke ravnine i, tada se duljina segmenta može izračunati po formuli

Ako su zadane dvije točke u prostoru i, tada se duljina segmenta može izračunati po formuli

Bilješka: Formule će ostati točne ako se zamijene odgovarajuće koordinate: i , ali prva opcija je standardnija

Primjer 3

Riješenje: prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Radi jasnoće, napravit ću crtež

Segment linije - nije vektor, i ne možete ga nikamo premjestiti, naravno. Osim toga, ako dovršite crtež u mjerilu: 1 jedinica. \u003d 1 cm (dvije tetradne ćelije), tada se odgovor može provjeriti običnim ravnalom izravnim mjerenjem duljine segmenta.

Da, rješenje je kratko, ali u njemu postoji nekoliko važnih točaka koje bih želio pojasniti:

Prvo, u odgovoru postavljamo dimenziju: "jedinice". Stanje ne govori ŠTO je, milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga će opća formulacija biti matematički kompetentno rješenje: "jedinice" - skraćeno kao "jedinice".

Drugo, ponovimo školsko gradivo, koje je korisno ne samo za razmatrani problem:

obrati pozornost na važan tehnički trik – vadeći množitelj ispod korijena. Kao rezultat izračuna, dobili smo rezultat i dobar matematički stil uključuje vađenje množitelja ispod korijena (ako je moguće). Proces detaljnije izgleda ovako: . Naravno, ostavljanje odgovora u obrascu neće biti pogreška – ali to je definitivno mana i težak argument za prigovaranje od strane učitelja.

Evo drugih uobičajenih slučajeva:

Često se pod korijenom dobiva, na primjer, dovoljno velik broj. Kako biti u takvim slučajevima? Na kalkulatoru provjeravamo je li broj djeljiv s 4:. Da, potpuno podijeliti, na sljedeći način: . Ili se možda broj opet može podijeliti s 4? . Na ovaj način: . Posljednja znamenka broja je neparna, tako da dijeljenje s 4 po treći put očito nije moguće. Pokušavam podijeliti s devet: . Kao rezultat:
Spreman.

Zaključak: ako ispod korijena dobijemo cijeli broj koji se ne može izdvojiti, onda pokušavamo izvaditi faktor ispod korijena - na kalkulatoru provjeravamo je li broj djeljiv sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , itd.

Prilikom rješavanja raznih zadataka često se pronalaze korijeni, uvijek pokušajte izvući čimbenike ispod korijena kako biste izbjegli nižu ocjenu i nepotrebne muke s finaliziranjem svojih rješenja prema napomeni nastavnika.

Ponovimo istovremeno kvadriranje korijena i ostalih potencija:

Pravila za radnje sa stupnjevima u općem obliku mogu se naći u školskom udžbeniku algebre, ali mislim da je već sve ili gotovo sve jasno iz navedenih primjera.

Zadatak za samostalno rješenje sa segmentom u prostoru:

Primjer 4

Zadane bodove i . Pronađite duljinu segmenta.

Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Kako pronaći duljinu vektora?

Ako je dan ravninski vektor, tada se njegova duljina izračunava po formuli.

Ako je dan vektor prostora, tada se njegova duljina izračunava po formuli .

vektorski modul- veličina vektora - [L.G. Sumenko. Engleski ruski rječnik informacijskih tehnologija. M .: GP TsNIIS, 2003.] Teme informacijska tehnologija općenito Sinonimi vektorska vrijednost EN apsolutna vrijednost vektora ...

vektorski modul- vektoriaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. apsolutna vrijednost vektora vok. Vectorbetrag, m rus. duljina vektora, f; vektorski modul, m pranc. module d’un vecteur, m … Fizikos terminų žodynas

- (od latinskog modulus "mala mjera"): Wiktionary ima članak "modulus" Mo ... Wikipedia

Modul (od latinskog modulus "mala mjera") je sastavnica, odvojiva ili barem mentalno odvojena od općeg. Modularna stvar obično se naziva stvar koja se sastoji od jasno definiranih dijelova, koji se često mogu ukloniti ili dodati bez uništavanja stvari ... ... Wikipedia

Apsolutna vrijednost ili modul realnog ili kompleksnog broja x je udaljenost od x do ishodišta. Točnije: apsolutna vrijednost realnog broja x je nenegativan broj označen s |x| i definirana na sljedeći način: ... ... Wikipedia

modul valnog vektora- - [L.G. Sumenko. Engleski ruski rječnik informacijskih tehnologija. M .: GP TsNIIS, 2003.] Teme informacijske tehnologije općenito EN veličina vektora širenja ... Priručnik tehničkog prevoditelja

envelope codevector convolver modul- - [L.G. Sumenko. Engleski ruski rječnik informacijskih tehnologija. M.: GP TsNIIS, 2003.] Teme informacijske tehnologije općenito EN oblik modul konvolucije kodvektora ... Priručnik tehničkog prevoditelja

Modul kompleksnog broja je duljina vektora koji odgovara ovom broju: . Modul kompleksnog broja z obično se označava s | z | ili r. Neka su i realni brojevi takvi da je kompleksan broj (uobičajena oznaka). Zatim brojevi... Wikipedia

Modul iz matematike, 1) M. (ili apsolutna vrijednost) kompleksnog broja z \u003d x + iy je broj ═ (korijen se uzima sa znakom plus). Prilikom predstavljanja kompleksnog broja z u trigonometrijskom obliku z \u003d r (cos j + i sin j), pravi broj r je ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Abelova grupa s operatorskim prstenom. M. je generalizacija (linearnog) vektorskog prostora nad poljem K za slučaj kada je K zamijenjen nekim prstenom. Neka je zadan prsten A. Aditivna Abelova grupa Mnas. lijevo A modul, ako je definiran...... Matematička enciklopedija